Επιφάνεια Ρίμαν
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη μιγαδική ανάλυση, η επιφάνεια Ρίμαν που πήρε το όνομά της από τον Μπέρναρντ Ρίμαν ο οποίος ήταν και ο πρώτος που τη μελέτησε, είναι ένας μονοδιάστατος μιγαδικός τοπολογικός χώρος. Οι επιφάνειες Ρίμαν μπορούν να θεωρηθούν ως "παραμορφωμένες εκδόσεις" του μιγαδικού επίπεδου τοπικά κοντά σε κάθε σημείο που μοιάζουν με μπαλώματα του μιγαδικού επιπέδου, αλλά γενικά η τοπολογία τους μπορεί να είναι αρκετά διαφορετική. Παραδείγματος χάριν, μπορούν να μοιάσουν με μια σφαίρα ή με ένα τόρο ή με φύλλα που κολλιούνται από κοινού.
Το κύριο σημείο των επιφανειών Ρίμαν είναι ότι οι ολομορφικές συναρτήσεις μπορούν να καθοριστούν μεταξύ τους. Οι επιφάνειες Ρίμαν εξετάζονται σήμερα ως φυσική ρύθμιση για τη μελέτη της σφαιρικής συμπεριφοράς αυτών των λειτουργιών, ειδικά σύνθετες συναρτήσεις όπως η τετραγωνική ρίζα και άλλες αλγεβρικές συναρτήσεις, ή ο λογάριθμος.
Κάθε επιφάνεια Ρίμαν είναι ένας δισδιάστατος πραγματικός αναλυτικός τοπολογικός χώρος (δηλ., μια επιφάνεια), αλλά περιέχει περισσότερη δομή (συγκεκριμένα μια μιγαδική δομή) που απαιτείται για το σαφή καθορισμό των ολομορφικών συναρτήσεων. Ένας δισδιάστατος πραγματικός τοπολογικός χώρος μπορεί να μετατραπεί σε επιφάνεια Ρίμαν εάν και μόνο εάν είναι προσανατολίσιμος και μετρήσιμος. Έτσι στη σφαίρα και στο δακτύλιο μπορούν να γίνουν αποδεκτές μιγαδικές δομές, κάτι που δεν είναι εφικτό στη λουρίδα Möbius, στο μπουκάλι Klein και στο προβολικό επίπεδο.
Τα γεωμετρικά δεδομένα για τις επιφάνειες Ρίμαν είναι «όμορφα», και παρέχουν συχνά τη διαίσθηση και το κίνητρο για τις γενικεύσεις σε άλλες καμπύλες, πολλαπλές ή ποικιλίες. Το θεώρημα Riemann-Roch είναι ένα πρωταρχικό παράδειγμα αυτής της επιρροής.