טור (מתמטיקה)
מושג מתמטי, סכום של סדרה / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה מושג הטור מציין את סכומה של סדרה, שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל, הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי. המתמטיקאי היווני הקדום ארכימדס (נפטר ב-212 לפני הספירה) חישב, לראשונה ככל הידוע, סכום של טור אינסופי.
בערך זה |
תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס.
טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום הוא באמצעות האות היוונית סיגמא, בסימון זה: כאשר הוא מספר האיברים, ו- הוא אינדקס העובר על הערכים .
ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:
טור חשבוני
טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: (ראו בעניין זה "אנקדוטה על אודות קרל פרידריך גאוס").
טור טלסקופי
טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור
שבו האיבר ה- הוא . מכיוון ש-, סכום האיברים הראשונים הוא
שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום הזה שווה
(ראו גם "חישוב סכום של טור טלסקופי אינסופי")
טור הנדסי
טור הנדסי (או טור מעריכי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של סדרה הנדסית. למשל, הטור הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה 2.
סכום טור הנדסי סופי
סכום סופי של סדרה הנדסית כלשהי הוא: ,
כאשר מנת הסדרה, האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא .
הוכחת הנוסחה:
סכום טור הנדסי אינסופי
כאשר הסכום הוא אינסופי ו־ הטור מתכנס ומאחר ש- נקבל כי (אם הטור מתבדר).
זהויות אלגבריות של טורים סופיים
ניתן לחלק זהויות של טורים סופיים לכאלה שנובעות ממניפולציות על אינדקסים וכאלה שמבוססות על אקסיומות המבנה האלגברי שאת איבריו סוכם הטור. כך למשל, הזהות של הזזת אינדקסים שומרת על סדר הסכימה ולכן לא תלויה באקסיומות של המבנה האלגברי מעליו היא נעשית. לעומת זאת, הזהות מבוססת על חוק הפילוג. יותר מכך, הזהות האחרונה היא הכללה של חוק הפילוג, כיוון שזה מתקבל עבור .
לשם הוכחת הזהויות משתמשים בדרך כלל באינדוקציה מתמטית. כך לדוגמה, הזהות מתקיימת בכל שדה עבור לפי חוק הפילוג, ואם מניחים שהשוויון מתקיים עבור כלשהו אז על ידי שימוש בהנחת האינדוקציה ובחוק הפילוג נקבל
מכאן נסיק שהשוויון נכון עבור כל טבעי (עבור השוויון טריוויאלי).
הוכחות זהויות שמשנות את סדר סכימת האיברים הן לרוב יותר מורכבות. לשם ההוכחה של זהויות כאלה ניתן להשתמש בלמה לפיה במבנה אלגברי עם תכונות האסוציאטיביות והקומוטטיבית סכום של קבוצה סופית של איברים לא תלוי בסדר הסכימה.
להלן ריכוז זהויות הנכונות מעל שדות (למשל שדה המספרים הממשיים) על פי האקסיומת מהן הן נובעות:
חוק הפילוג
- (הכללה של חוק הפילוג)
- (וריאציה על חוק הפילוג)
אסוציאטיביות
- (פיצול טור)
- (וריאציה של הזהות הקודמת)
אסוציאטיביות וקומוטטיביות
בהתבסס על חוק החילוף, זהויות אלו מאפשרות את שינוי סדר הסכימה:
- (פיצול הטור לטור האיברים הזוגיים וטור האיברים האי-זוגיים)
- (גרסה נוספת לפיצול של טור לפי הזוגיות של האיברים)
קומוטטיביות יחד עם מניפולציות על אינדקסים:
- (היפוך סדר הסכימה)
- (היפוך סדר הסכימה עם הזזת אינדקסים)