נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות
נוסחא מתמטית / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות היא נוסחה באלגברה המבטאת את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית באמצעות תמורות של איברי המטריצה. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ.
אם A היא מטריצה מסדר n×n, אז אם נסמן ב-ai,j את האיבר בשורה ה-i ובעמודה ה-j, הנוסחה היא:
כאשר sgn היא פונקציית הסימן של התמורות בחבורת התמורות Sn, והיא מחזירה 1+ אם התמורה זוגית (כלומר אם היא מתקבלת מתמורת הזהות על ידי מספר זוגי של חילופים) ו-1- אם התמורה אי-זוגית. ויזואלית ניתן לדמות את הנוסחה כסכום מסומן של כל המכפלות האפשריות של n מאיברי המטריצה כאשר הם נבחרים כך שאין שניים באותה עמודה או שורה.
נוסחה זו היא הביטוי המתמטי היחיד המקבל כמשתנים את n2 איברי המטריצה, ומהווה תבנית מולטי-ליניארית (הווה אומר, ליניארית בכל אחד מאיברי המטריצה), מתחלפת (אנטי-סימטרית) ומנורמלת. זו הגרסה הסגורה להגדרה הרקורסיבית של הדטרמיננטה באמצעות פיתוח למינורים לפי שורה או עמודה מסוימת.
את כמה מהתכונות הבסיסיות של הדטרמיננטה, כגון התאפסותה עבור מטריצה תלויית-שורות, ניתן להסביר כתוצא ישיר של הגדרה זו, וכפועל יוצא של הצורה המתמטית של הנוסחה. למשל, אם שתיים משורות המטריצה הריבועית זהות (עד כדי כפל בסקלר), אז מאנטי-סימטריות הדטרמיננטה נובע שאם נחליף בין השורות הזהות ערך הדטרמיננטה ישתנה מ- ל-; אולם המטריצה נותרה אותו דבר (החלפנו שורות זהות), וכיוון שהמספר היחידי ששווה לנגדי של עצמו הוא 0 נובעת התאפסות הדטרמיננטה. בנימה דומה, כלל קרמר נובע ישירות ממולטי-ליניאריות הדטרמיננטה.
חישוב ישיר של הדטרמיננטה על פי נוסחת לייבניץ דורש באופן כללי פעולות בשדה; זה מאוד לא יעיל בעבור מטריצות גדולות. בעזרת דירוג מטריצות ניתן להוריד זאת ל-(O(n3, זאת שכן הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה, ואת הדטרמיננטה המקורית ניתן לשחזר באמצעות "זכירת" הפעולות האלמנטריות שביצענו עד כה אשר שינו את ערכה.