משפט העקום של ז'ורדן
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
עקום ז'ורדן הוא לולאה פשוטה במישור, כלומר מסילה המתחילה ומסתיימת באותה הנקודה ושאינה חותכת את עצמה. משפט העקום של ז'ורדן קובע שכל עקום ז'ורדן מחלק את המישור לשני תחומים קשירים: התחום ה"פנימי" החסום, והמשלים שלו – התחום ה"חיצוני" שאינו חסום. תמונתו של העקום במישור היא שפתם המשותפת של שני רכיבי הקשירות. בפרט נובע שכל מסילה העוברת בשני התחומים חייבת לחתוך את העקום.
ברנרד בולצאנו היה הראשון לנסח את המשפט באופן פורמלי והציג אותו כהשערה. המשפט נראה מובן מאליו, ואכן הוכחת המשפט עבור עקומי ז'ורדן מצולעים היא אלמנטרית, אך עם זאת ההוכחה עבור עקום ז'ורדן כללי אינה פשוטה כלל ועיקר. למרות ההגדרה האלמנטרית למושג של עקום ז'ורדן, עקומים כאלה יכולים להיות מסובכים למדי כדוגמת פרקטל, ולהיראות מקומית למשל כמו פונקציית ויירשטראס. במקרים כאלה קשה להסיק מרציפות העקומה, שהיא תכונה מקומית, מסקנות לגבי קשירוּת של קבוצות המישור, שהיא תכונה גלובלית, וכן קשה לעיתים להבין מהו התחום הפנימי, שכן אין דרך להגדיר "פנים" ו"חוץ" לעקומה.[1] המשפט נקרא על שם המתמטיקאי קאמי ז'ורדן שניסח אותו לראשונה בשנת 1887.[2] תקפותה של ההוכחה שז'ורדן הציג למשפט הייתה נתונה לוויכוח,[3] ובכל מקרה המשפט הוכח באופן מלא בשנת 1905 על ידי אוסוולד וובלן (אנ').