Dimensione di Hausdorff
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In matematica, la dimensione di Hausdorff è una dimensione frattale. Fu introdotta nel 1918 dal matematico Felix Hausdorff. Molti degli strumenti tecnici usati per calcolare la dimensione di Hausdorff di insiemi molto irregolari sono stati sviluppati da Abram Samojlovič Bezicovič. Per questa ragione la dimensione di Hausdorff è talvolta menzionata come dimensione di Hausdorff-Besicovitch.
Intuitivamente, la dimensione di un insieme (ad esempio, un sottoinsieme dello spazio euclideo) è il numero di parametri indipendenti necessari alla descrizione di un punto dell'insieme. Un concetto matematico che modella fedelmente questa idea ingenua è la dimensione topologica di un insieme. Ad esempio, un punto sul piano è descritto da due parametri indipendenti (le coordinate cartesiane del punto), così, in questo senso, il piano è bidimensionale. Come ci si aspetta, la dimensione topologica è sempre un numero naturale.
Tuttavia, la dimensione topologica si comporta in modi del tutto inaspettati con determinati insiemi molto particolari come i frattali. Ad esempio l'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero, ma in un certo senso si comporta come uno spazio a dimensione superiore. La dimensione di Hausdorff offre un altro modo di definire la dimensione, che coinvolge la metrica.
Per definire la dimensione di Hausdorff di X, dobbiamo considerare il numero N(r) delle palle di raggio massimo r necessarie a coprire completamente X. Chiaramente, diminuendo r, N(r) aumenta. Molto grossolanamente, se N(r) cresce allo stesso modo di 1/rd quando r viene ridotto fino a zero, allora diciamo che X ha dimensione d. In realtà la definizione rigorosa di dimensione di Hausdorff è qualcosa di tortuoso, poiché definisce in primo luogo un'intera famiglia di misure di copertura per X. Si scopre che la dimensione di Hausdorff raffina il concetto di dimensione topologica e la mette in relazione con altre proprietà dello spazio, come area o volume.
Si dovrebbe porre attenzione sul fatto che esistono diverse nozioni di dimensione frazionaria, strettamente collegate. Ad esempio la dimensione di Minkowski-Bouligand generalizza l'idea di contare i quadrati di carta millimetrata nei quali può essere trovato un punto di X, al diminuire della dimensione dei quadrati. In molti casi queste nozioni coincidono, ma la relazione fra di esse è fortemente tecnica.