順序集合
数学における順序が定義された集合 / ウィキペディア フリーな encyclopedia
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順序集合(じゅんじょしゅうごう、英: ordered set)は集合の要素の間に順序が定義された集合。順序とは二項関係であって後述する反射律・推移律などを満たすものであり、数の大小関係などを一般化したものである。
全ての2要素が比較可能(順序が定義されている)ものを特に全順序集合(totally ordered set; toset)という。例えば実数における大小関係は全順序集合である。
また、全順序ではない順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を定めたものや、(2つ以上元を含む)集合の冪集合において、包含関係を順序と見なしたものがある。
後述するように、順序が満たすべき公理の種類により、前順序集合、半順序集合(partially ordered set; poset)、全順序集合がある。多く場合、半順序集合を指して「順序集合」と呼ぶことが多いが、分野によっては前順序集合や全順序集合を指す場合がある。