مستخدم:Mr-M/تمثيل زمرة منتهية
من ويكيبيديا، الموسوعة encyclopedia
قالب:Entête label في الرياضيات، الزمرة هي عبارة عن بنية جبرية تتكون من مجموعة ذات قانون تركيب داخلي وحيد. هذا القانون يحقق بعض الخصائص: فهو تجميعي، ويحتوي على عنصر محايد وجميع عناصره لها معكوس. أما الزمرة المنتهية فهي زمرة عدد عناصرها منتهٍ. تخفي بساطة هذا التعريف أن بِنْيتُها يمكن أن تُصبح معقدة كثيرا إذا كانت رتبتها كبيرة، يعني عدد عناصرها يزيد. تمثيل زمرة منتهية هو طريقة لدراسة مثل هذه البنية. إنها بمثابة دراسة الزمرة كمجموعة من تماثلات الفضاء الإقليدي. على سبيل المثال، يتم تمثيل زمرة التبديلات لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر كمجموعة من التطبيقات الخطية للمستوى التي تمر من ثابت معلوم وهو مثلث متساوي الأضلاع مركزه نقطة الأصل. .
يُقسّم التمثيل إلى عناصر بسيطة، تسمى تمثيلات غير قابلة للاختزال ويكون عددها منتهٍ. وهي تمثل الحجر الأساس الذي يجعل من الممكن بناء جميع التمثيلات. تلعب الهندسة الإقليدية دورًا في هذا الكون. يًقسّم أي تمثيل إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال تعمل على مساحات أصغر، وكلها متعامدة مع بعضها البعض. طريقة واحدة لدراسة تمثيل معين هو النظر في التطبيق الذي يربط عنصر من عناصر الزمرة، بمجموع معاملات المصفوفة هذه الأخيرة تمثل صورة التطبيق الخطي. هذا التطبيق نسميه أحرف التمثيل. وهو أيضا جزء من فضاء إقليدي يسمى فضاء الدوال المركزية. تتكون القاعدة الطبيعية المتعامدة لهذا الفضاء من أحرف التمثيلات غير القابلة للاختزال وحِساب إحداثيات كل حرف في هذه القاعدة يجعل التقسيم إلى عناصر بسيطة ممكناً. كما هو الحال في الجبر، تكون الدراسة أبسط إذا استخدمنا أرقامًا خيالية في الفضاء المتجهي. يتم بعد ذلك تعريف الجداء السُّلَمي المذكور هنا بأعداد معقدة، ونتحدث أحيانًا عن الجداء الهيرميتي والهندسة الهيرميتية.
تاريخيا، ظهر أن هذه النظرية تجيب على سؤال في نظرية غالوا. دراسة حلول معادلة متعددة الحدود تؤدي إلى دراسة تمثيل زمرة تسمى زمرة غالوا. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، بحث عالم الرياضيات الألماني ديدكايند، عن تعميل معادلة من الدرجة الرابعة لزمرة غالوا، يمكن أن تُعَمَّل هذه المجموعات من الزمر الفرعية العادية بالطريقة نفسها، بحيث نحصل على مجموعة مكونة من زمر فرعية عادية وبسيطة، تسمى قائمة عوامل المجموعة البسيطة، والتي تعد وحيدة لكل منها، وبالتالي مشتركة بين جميع التعميلات لزمرة واحدة على الأقل (ولكن يجب ألا ننسى أن العديد من المجموعات يمكن أن يكون لها نفس العوامل البسيطة!) [ المرجع. المطلوب ] . إذ أن المهمة ليست ليست، لأن مثل هذه الزمرة تُمثّل ب24 مصفوفة من كل 242 ! = 576 عامل. فلم ينجح، فكتب إلى فرديناند جورج فروبنيوس، الذي سرعان ما فهم لماذا الأحرف هي الإجابة على هذا السؤال الحساس وكيفية حل الصعوبة. توقع فروبنيوس أن لديه نهج مثمر هنا، مما فتح الطريق لنظريته الواسعة، مصدر التقدم في نظرية الزمر. Catégorie:Article à référence souhaitée تقدم هذه النظرية في الواقع أدوات قوية لتوضيح نظرية الزمر المنتهية، مما يسمح على سبيل المثال بتحديد مدى قابلية الزمرة للحلحة وفقًا لرتبتها. بالطريقة الأقل رواية، يمثل تمثيل الزمر المنتهية أداة التصنيف الأساسية. المساهمة الجبرية لا تتوقف عند هذا الحد. تضاف التطبيقات الخطية، التي تجعل من الممكن تحديد حلقة ما، إذا أخذنا بعين الاعتبار الفضاء المتجهي الناتج عن صور الزمرة. تتداخل أدوات تمثيل زمرة منتهية في دراسة بنية الحلقة، كما يتضح من نظرية آرتن ويدربورن. في الأخير، نظرية غالوا، مصدر عمل فروبنيوس، لا يجب تجاوزها. من خلال نظرية الحقول الفصلية أو تلك الأقل نجاحًا في برنامج لانغلاندس، يكون تمثيل الزمر في صميم البحث الرياضي الحالي.