Construcció dels nombres reals
From Wikipedia, the free encyclopedia
Intuïtivament, la construcció dels nombres reals es pot entendre com la definició d'un conjunt tal que els seus elements tinguin les propietats que es desitja per als nombres reals. Existeixen diferents construccions dels nombres reals, per exemple:
- Fent servir els talls de Dedekind. S'identifica cada tall de Dedekind en el conjunt dels nombres racionals amb un nombre real. El conjunt de tots els talls possibles, és, per definició, el conjunt dels nombres reals.
- Fent servir les successions de Cauchy. S'identifica la família de totes les successions de Cauchy que tenendeixen al mateix límit (tals que la successió diferència tendeix a zero) amb un nombre real. El conjunt dels nombres reals és el conjunt d'aquestes famílies de successions de Cauhy.
A primer cop d'ull pot semblar que el concepte de nombre real depèn molt de la forma de construir-lo. En el primer cas sembla que sigui una partició en el conjunt dels racionals, en el segon cas sembla que sigui una família de successions. Aquesta distinció és com pretendre que el conjunt dels nombres naturals sigui diferent si s'explica a partir de conjunts de peres o de taronges, el concepte de nombre no és ni les peres, ni la quantitat de peres, ni els talls, ni les successions, sinó el concepte abstracte que tenen en comú tots els casos que ofereixen les mateixes propietats que aquests conjunts.
Una altra forma de construir els nombres reals és a partir dels nombres decimals. Aquest enfocament fa més intuïtiva la identificació dels nombres reals amb les magnituds contínues de la física però presenta moltes més dificultats que els anteriors per a la construcció rigorosa dels nombres.