Hurwitzquaternion
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Eine Hurwitzquaternion (oder Hurwitz-Ganzzahl), benannt nach Adolf Hurwitz, ist eine Quaternion, deren vier Koeffizienten entweder alle (rational-)ganzzahlig oder alle halbzahlig (Hälften ungerader ganzer Zahlen) sind – Mischungen von Ganzzahlen und Halbzahlen sind also unzulässig. Die Menge aller Hurwitzquaternionen ist
- .
Sie bildet in ihrem Quotientenkörper, dem Divisionsring (Schiefkörper) der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten
- ,
eine maximale -Ordnung. ist der kleinste Unterkörper des Quaternionenschiefkörpers mit nicht-kommutativer Multiplikation. Andererseits ist seine Vervollständigung (Komplettierung) für die Betrags-Metrik gerade wieder .
Eine Lipschitzquaternion (oder Lipschitz-Ganzzahl), benannt nach Rudolf Lipschitz, ist eine Quaternion, deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Die Menge aller Lipschitzquaternionen
ist ein (nicht-kommutativer) Unterring von (aber kein Ideal!). und haben denselben Quotientenkörper .
Im Unterschied zu ist maximal als Ganzheitsring und zusätzlich ein euklidischer Ring, d. h., kennt eine Division mit kleinem Rest und einen euklidischen Algorithmus.
Der Artikel behandelt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften inklusive Symmetrien von und deren geometrische Auswirkungen. Ferner lässt sich exemplarisch verfolgen, inwieweit Begriffe, die man von den kommutativen Ringen her kennt und die häufig nur dort definiert werden, fürs nicht-kommutative Umfeld angepasst werden können.