Kardioide
spezielle Rollkurve eines Kreispunktes auf einem Kreis gleichen Radius / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Die Kardioide oder Herzkurve (von griechisch καρδία ‚Herz‘) ist eine ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung, die ihren Namen wegen ihrer Form erhielt.
Lässt man auf der Außenseite eines gegebenen festen Kreises mit Mittelpunkt M und Radius einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius abrollen und betrachtet man dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abrollenden Kreis, so beschreibt P eine Kardioide. Damit erweist sich die Kardioide als spezielle Epizykloide.
Ist der gemeinsame Radius der erzeugenden Kreise mit den Mittelpunkten , der Rollwinkel und der Nullpunkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die
- Parameterdarstellung:
- .
Hieraus ergibt sich die Darstellung in
Mit der Substitution und erhält man nach Beseitigung der Wurzel die implizite Darstellung in
- .
- Beweis der Parameterdarstellung
Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihrer Darstellung als Gaußsche Zahlenebene leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes (komplexe Zahl) um den Nullpunkt mit dem Winkel wird durch die Multiplikation mit bewirkt.
- Die Drehung um den Punkt ist .
- Die Drehung um den Punkt ist .
Ein Kardioidenpunkt entsteht durch Drehung des Nullpunktes um und anschließende Drehung um jeweils um den Winkel :
- .
hieraus ergibt sich
(Es wurden die Formeln benutzt. Siehe Formelsammlung Trigonometrie.)
Für die obige Kardioide ist
- der Flächeninhalt , und
- die Kurvenlänge .
- Krümmungsradius
Die Beweise verwenden jeweils die Polardarstellung der obigen Kardioide. Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z. B. hier.[1]
- Beweis für den Flächeninhalt
- .
- Beweis für die Kurvenlänge
- .
- Beweis für den Krümmungsradius
Der Krümmungsradius einer Kurve in Polarkoordinaten ist (s. Krümmung)
Für die Kardioide ergibt sich