Διανυσματικός χώρος
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ο διανυσματικός χώρος είναι μια μαθηματική δομή η οποία αποτελείται από μια συλλογή στοιχείων που ονομάζονται διανύσματα[1][2]. Τα διανύσματα μπορούν να προστίθενται και να πολλαπλασιάζονται (κλιμακωτά) με αριθμούς, οι οποίοι στο κείμενο θα ονομάζονται ως βαθμωτά. Τα βαθμωτά είναι συνήθως πραγματικοί αριθμοί, αλλά υπάρχουν και διανυσματικοί χώροι με βαθμωτό πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών, ρητών αριθμών ή γενικά οποιουδήποτε σώματος. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις, οι οποίες καλούνται αξιώματα, παρατίθενται παρακάτω. Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι αυτός των ευκλείδειων διανυσμάτων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν φυσικές ποσότητες όπως είναι οι δυνάμεις• οποιαδήποτε δυο διανύσματα δυνάμεων (ίδιου τύπου) μπορούν να προστεθούν για να παράγουν ένα τρίτο και ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύναμης με έναν πραγματικό πολλαπλασιαστή, είναι ένα νέο διάνυσμα δύναμης. Από γεωμετρικής άποψης, τα διανύσματα που εκπροσωπούν μετατοπίσεις στο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο αποτελούν επίσης διανυσματικούς χώρους.
Οι διανυσματικοί χώροι είναι αντικείμενο μελέτης της γραμμικής άλγεβρας μιας και χαρακτηρίζονται από τη διάστασή τους, η οποία καθορίζει τον αριθμό των ανεξάρτητων κατευθύνσεων στο χώρο. Ο διανυσματικός χώρος μπορεί να να εμπλουτιστεί με πρόσθετη δομή όπως είναι το μέτρο διανύσματος και το εσωτερικό γινόμενο.
Ιστορικά, οι πρώτες ιδέες που οδήγησαν στους διανυσματικούς χώρους μπορούν να εντοπιστούν πίσω στον χρόνο όσον αφορά την αναλυτική γεωμετρία του 17ου αιώνα, τους πίνακες, τα συστήματα εξισώσεων ευθείας, και τα Ευκλείδεια διανύσματα. Η σύγχρονη, πιο αφηρημένη αναφορά έγινε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1888. Σήμερα οι διανυσματικοί χώροι βρίσκουν εφαρμογή στο σύνολο των μαθηματικών, της επιστήμης και στις επιστήμες μηχανικών.