Θεωρία κόμβων
κλάδος της τοπολογίας / From Wikipedia, the free encyclopedia
Στην τοπολογία, η θεωρία κόμβων είναι ο κλάδος που μελετά τους κόμβους. Παρόλο που η αρχική έμπνευση για την έννοια του κόμβου προέρχεται από τους κόμπους που απαντώνται στην καθημερινή ζωή, όπως αυτοί που δημιουργούνται με σχοινιά και κορδόνια, ο μαθηματικός κόμβος διαφέρει στο ότι τα άκρα του είναι ενωμένα και δεν μπορεί να "λυθεί". Σε μαθηματική γλώσσα, ο κόμβος είναι μια ενσωμάτωση ενός κύκλου στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, R3 (στην τοπολογία, ο όρος "κύκλος" δεν αναφέρεται στην κλασική γεωμετρική έννοια, αλλά σε όλους τους ομοιομορφισμούς του κλασικού σχήματος). Δύο μαθηματικοί κόμβοι είναι ισοδύναμοι αν ο ένας μπορεί να μετασχηματιστεί στον άλλον μέσω μιας παραμόρφωσης του R3 στον εαυτό του (γνωστή ως πλήρης ισοτοπία). Αυτοί οι μετασχηματισμοί αντιστοιχούν σε χειρισμούς μιας χορδής δεμένης σε κόμπο, χωρίς η χορδή να κόβεται ή να περνά μέσα από τον εαυτό της.
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: μεγάλο μέρος του καθώς και ορολογία αμετάφραστα Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων. |
Οι κόμβοι μπορούν να περιγραφούν με διάφορους τρόπους αλλά, ανάλογα με τη μέθοδο, κάθε κόμβος μπορεί να αντιπροσωπεύεται από περισσότερες από μία περιγραφές. Για παράδειγμα, μια συνήθης μέθοδος περιγραφής ενός κόμβου είναι ένα γραμμικό διάγραμμα που ονομάζεται διάγραμμα κόμβου. Σε ένα διάγραμμα κόμβου κάθε κύκλος μπορεί να απεικονισθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Συνεπώς, ένα θεμελιώδες πρόβλημα της θεωρίας κόμβων είναι η απόδειξη ότι δύο διαφορετικές περιγραφές αντιπροσωπεύουν τον ίδιο κόμβο. Υπάρχει πλήρης αλγοριθμική λύση σε αυτό το πρόβλημα, με άγνωστη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Στην πράξη, οι κόμβοι συχνά διακρίνονται με χρήση της αναλλοίωτης κόμβου, μιας "ποσότητας" που παραμένει σταθερή όταν υπολογίζεται για διαφορετικές περιγραφές ενός κόμβου. Σημαντικές αναλλοίωτες είναι τα πολυώνυμα κόμβων, οι ομάδες κόμβων και οι υπερβολικές αναλλοίωτες.
Το αρχικό κίνητρο για τους μαθηματικούς που θεμελίωσαν τη θεωρία κόμβων ήταν η δημιουργία ενός πίνακα κόμβων και συνδέσμων, δηλαδή κόμβων αποτελούμενων από πολλά μεμονωμένα στοιχεία πεπλεγμένα μεταξύ τους. Από την εποχή που ξεκίνησε η ανάπτυξη της θεωρίας κόμβων, τον 19ο αιώνα, έως σήμερα έχουν πινακογραφηθεί πάνω από έξι δισεκατομμύρια κόμβοι και σύνδεσμοι.
Για να κερδίσουν περαιτέρω γνώσεις, οι μαθηματικοί έχουν ερμηνεύσει τον όρο κόμβο με διαφορετικές έννοιες. Οι κόμβοι μπορούν να θεωρηθούν και σε άλλουςτρισδιάστατους χώρους και σε άλλα αντικείμενα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όπως οι κύκλοι: Δες κόμβος(μαθηματικά). Μεγαλύτερων διαστάσεων κόμβοι είναι ν-διαστάσεων σφαίρα σε μ-Διάστασης ευκλείδειο χώρο.