Αρίθμηση Γκέντελ
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ έμεινε στην ιστορία για τα δύο θεωρήματά του της μη πληρότητας (1931). Αυτά σε γενικές γραμμές λένε:
- Ότι σε κάθε συνεπές εσωτερικά σύστημα, υπάρχουν μη αποδείξιμες προτάσεις και
- Ότι ένα συνεπές εσωτερικά σύστημα, δεν μπορεί να είναι πλήρες και συνεπές την ίδια στιγμή.
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Αυτό το λήμμα ή η ενότητα χρειάζεται ειδικές γνώσεις. Αν γνωρίζετε καλά το θέμα, βελτιώστε το. Δείτε τη σελίδα συζήτησης για λεπτομέρειες. |
Τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel απετέλεσαν σημείο καμπής για τα μαθηματικά αλλά και τη φιλοσοφία, δεδομένου ότι διέλυσαν με βίαιο και οριστικό τρόπο την προσπάθεια σταθερής θεμελίωσης των μαθηματικών και της φιλοσοφίας σε σταθερά θεμέλια, που είχαν αναλάβει σπουδαίοι μαθηματικοί όπως ο Russel, ο Frege, ο Whitehead και ο Hilbert. Ο Godel για να πετύχει την απόδειξη των θεωρημάτων του χρησιμοποίησε μια τεχνική που από τότε ονομάζεται Γκεντελοποίηση. Για να διατυπώσει με ακρίβεια, τα θεωρήματά του της μη πληρότητος, ο Godel έπρεπε να λύσει αρκετά τεχνικά ζητήματα, όπως η κωδικοποίηση προτάσεων, αποδείξεων και της ίδιας της έννοιας της αποδειξιμότητας, με φυσικούς αριθμούς. Το έκανε χρησιμοποιώντας μια διαδικασία που λέγεται Γκεντελοποίηση. Με αυτόν τον τρόπο, αύξησε κατά πολύ την "υπολογιστική ισχύ" των συλλογισμών του σε μια εποχή που δεν υπήρχαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Η Γκεντελοποίηση στην αγγλοσαξωνική βιβλιογραφία αναφέρεται ως "Godel numbering" ή "Godel coding". Η Ελληνική μετάφραση θα μπορούσε να είναι "αρίθμηση Γκέντελ". Η Γκεντελοποίηση, φέρει αυτούσια την επίδραση του Kant και του Πλάτωνα στα Μαθηματικά του Kurt Gödel. Η κατασκευασιμότητα των αριθμών είναι χαρακτηριστική φιλοσοφική άποψη του Kant, ενώ η "μέθεξις" και η "αντιστοίχιση" αριθμών με προτάσεις, μαθηματικούς τύπους ή και φυσικά φαινόμενα, φέρει ανεξίτηλα τα ίχνη της πλατωνικής θεωρίας των Ιδεών. Στη μαθηματική λογική , μια αρίθμηση Γκέντελ είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει σε κάθε σύμβολο και τύπο κάποιας γλώσσας ένα μοναδικό φυσικό αριθμό , που ονομάζεται αριθμός Gödel .