Μετρικός χώρος
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο στο οποίο έχει οριστεί η έννοια της «απόστασης». Συγκεκριμένα, ας είναι ένα μη κενό σύνολο, και μία συνάρτηση. Η συνάρτηση θα λέγεται μετρική, και το ζεύγος θε λέγεται μετρικός χώρος, αν για κάθε ικανοποιεί τα ακόλουθα:
- (αξίωμα ταύτισης)
- (αξίωμα συμμετρίας)
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Απόσταση δύο σημείων x, y του χώρου, ονομάζεται η τιμή d(x,y).
Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι
- ,
για κάθε . Πράγματι, για κάθε x και για κάθε y, η τριγωνική ανισότητα δίνει · από τα αξιώματα ταύτισης και συμμετρίας παίρνουμε , δηλαδή . Τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου αποτελεί ο τριδιάστατος ευκλείδειος χώρος, εφοδιασμένος με την ευκλείδεια μετρική. Άλλο τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου είναι ο Διακριτός Μετρικός χώρος ο οποίος ορίζεται αν σε ένα τυχαίο σύνολο ορίσουμε την μετρική ως εξής: αν και αν Εύκολα δείχνουμε ότι ισχύουν και οι τρεις ιδιότητες της μετρικής.