Teoría de nudos
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La teoría de nudos es la rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático que abstrae la noción cotidiana de nudo.
Al escuchar la palabra nudo, vienen a nuestra mente imágenes como los cordones de unos zapatos, las sogas de los marineros e incluso recuerdos como el de una extensión eléctrica difícil de desanudar. Todas esas imágenes son ejemplos de nudos, que difieren muy poco del concepto matemático de nudo.
Un nudo, una vez pegados sus extremos, se representa por una curva simple y cerrada en R3; o de modo más amplio, por encajes o embebimientos (embeddings) de la circunferencia en diversos espacios topológicos ambiente.
En topología, la teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos. Aunque se inspira en nudos que aparecen en la vida cotidiana, como los de los cordones de los zapatos y las cuerdas, un nudo matemático difiere en que los extremos están unidos, por lo que no se puede deshacer, siendo el nudo más simple un anillo (o " nudo"). En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en un espacio euclídeo tridimensional, . Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de sobre sí mismo (lo que se conoce como una isotopía ambiental); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla o pasarla a través de sí| misma.
Los nudos pueden describirse de varias maneras. Utilizando diferentes métodos de descripción, puede haber más de una descripción del mismo nudo. Por ejemplo, un método común para describir un nudo es un diagrama plano llamado diagrama de nudos, en el que cualquier nudo puede dibujarse de muchas formas diferentes. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo.
Existe una solución algorítmica completa a este problema, que tiene una complejidad desconocida. En la práctica, los nudos se distinguen a menudo utilizando un invariante de nudo, una "cantidad" que es la misma cuando se calcula a partir de diferentes descripciones de un nudo. Algunos invariantes importantes son los polinomios de nudo, los grupos de nudos y los invariantes hiperbólicos.
La motivación original de los fundadores de la teoría de nudos fue crear una tabla de nudos y ligaduras, que son nudos de varios componentes enredados entre sí. Más de seis mil millones de nudos y enlaces tabulado desde los comienzos de la teoría de nudos en el siglo XIX.
Para obtener más información, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de varias maneras. Los nudos pueden considerarse en otros espacios tridimensionales y pueden utilizarse objetos distintos de los círculos; véase nudo (matemáticas)'. Por ejemplo, un nudo de dimensión superior es una n-esfera dimensional incrustada en un espacio euclídeo (n+2)-dimensional.