Conjecture de Catalan
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La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en par Preda Mihăilescu[1].
Ce théorème s'énonce de la façon suivante :
Théorème — Les deux seules puissances parfaites consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32).
(Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.)
En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation
- xa − yb = 1
pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois[2].