Corps valué
Corps muni d'une valeur absolue / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue [1]. Celle-ci détermine sur K une structure d'espace métrique définie par la distance invariante , et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.
Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques[2]). Pour cette raison, certains auteurs[Qui ?][réf. souhaitée] appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.
La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale[3].
L'anneau complété d'un corps valué est un corps valué[1].
Soient un corps muni d'une distance associée à une valuation et l'anneau complété. Par prolongement des identités, est invariante par translations et l'application (qui prolonge ) est une valuation sur . L'application est -lipschitzienne sur pour tout . Elle s'étend donc continûment en une application définie sur .