Fraction égyptienne
fraction de numérateur égal à un et de dénominateur entier strictement positif / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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Une fraction égyptienne est, suivant les ouvrages, soit simplement une fraction unitaire, une fraction de numérateur égal à un et de dénominateur entier strictement positif, soit une somme de fractions unitaires distinctes. Quand on identifie fraction égyptienne et fraction unitaire, une telle somme peut se nommer développement en fractions égyptiennes, en raccourci développement égyptien.
Un problème classique est justement d'écrire une fraction (positive) comme somme de fractions unitaires avec des dénominateurs tous différents. En effet tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes. Par exemple .
Les anciens Égyptiens utilisaient une écriture pour les fractions qui correspond essentiellement à une telle somme (ils utilisaient aussi la fraction 2/3), et l'étude de telles sommes a continué à faire l'objet d'études lors de la période médiévale et lors de la période contemporaine.
En notation mathématique moderne, les fractions égyptiennes (au sens de développement égyptiens) ont été remplacées par les fractions ordinaires et la notation décimale. Néanmoins, ils continuent d'être un objet d'étude en théorie des nombres moderne et en mathématiques récréatives, aussi bien que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes.
Cet article résume ce qui est connu à propos des fractions égyptiennes à la fois anciennes et modernes. Pour les détails des sujets traités ici, voir les articles liés.
Les fractions dans l'Égypte antique
Cette propriété a permis aux anciens Égyptiens d'exprimer simplement tous les nombres rationnels.
N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.
Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour représenter le numérateur 1 :
Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :
Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaires 2/3 et 3/4 :
Si le dénominateur devenait trop large, la « bouche » était placée juste au début du dénominateur :
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La « table de deux » du Papyrus Rhind
Le papyrus Rhind (vers environ -1650), qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte quatre-vingt-quatre problèmes résolus d'arithmétique, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'Égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite « des fractions doubles » ou « de 2/n », se trouve en première position sur le papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est deux et dont le dénominateur n varie de trois à cent-un, n impairs et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires[1].
Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de deux :
2/5 | → 1/3 + 1/15 | |
2/7 | → 1/4 + 1/28 | |
2/9 | → 1/6 + 1/18 | |
2/11 | → 1/6 + 1/66 | |
2/101 | → 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. | |
Ces différents résultats furent obtenus par les anciens Égyptiens en appliquant la technique de la division.
Exemple de 2/5 :
1 | 5 | |
2/3 | 3 + 1/3 | |
✔ | 1/3 | 1 + 2/3 |
✔ | 1/15 | 1/3 |
1/3 + 1/15 | 2 |
(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.
Exemple du papyrus Rhind
Le problème numéro vingt-quatre du papyrus est le suivant : Un nombre ajouté à son septième donne dix-neuf, quel est ce nombre ?
Sous forme symbolique moderne, le problème se résout facilement : x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.
Mais pas de symbolisme algébrique il y a 4 000 ans ! Les Égyptiens utilisaient une méthode que l'on reconstitue comme étant celle dite de la fausse position. On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une fausse solution qui conduit, ici par proportionnalité, à la solution du problème considéré.
Dans notre exemple, l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant sept comme fausse solution : le scribe obtient huit dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Comme pour une telle équation (linéaire), on a proportionnalité entre la fausse solution 7 qui donne 8, et la solution cherchée qui doit donner 19. Une règle de trois donne donc cette solution, soit x = (19 × 7)/8.
Cela correspond à ce qui est proposé dans le papyrus : on divise dix-neuf par huit, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.
Mathématiques médiévales
La notation sous forme de fractions égyptiennes a été utilisée pendant la période grecque et même au Moyen Âge[2] en dépit des plaintes, dès l'Almageste de Ptolémée, à propos de la maladresse de cette notation comparée aux notations alternatives telles que la notation babylonienne en base soixante.
Le Liber abaci (1202) de Fibonacci contient plusieurs sections sur les mathématiques liées aux fractions égyptiennes. La plus connue de ces dernières est l'algorithme glouton pour les fractions égyptiennes (en) pour le calcul des fractions égyptiennes, par le choix répété de la fraction unitaire avec le plus petit dénominateur qui n'est pas plus grand que la fraction restante à développer[note 1].
Quelquefois, l'algorithme glouton de Fibonacci est attribué à Sylvester.
Dans le Liber Abaci, Fibonacci a écrit aussi à propos de la forme ascendante d'une fraction continue,
qui peut être réécrite comme développement égyptien :
Un développement de cette forme dans lequel les entiers ai sont croissants est appelé un développement en série de Engel. Chaque nombre rationnel possède un développement de Engel fini, tandis que les nombres irrationnels ont un développement de Engel infini.
Théorie des nombres moderne
Les théoriciens des nombres modernes ont étudié beaucoup de problèmes différents reliés aux fractions égyptiennes[3], incluant les problèmes de borne pour la longueur ou de dénominateur maximum dans les représentations en fractions égyptiennes, la recherche de recouvrement ou de développements de certaines formes spéciales ou dans lesquels les dénominateurs sont tous d'un certain type spécial, l'arrêt de diverses méthodes pour les développements en fractions égyptiennes et ont montré que les développements existent pour un ensemble suffisamment dense quelconque de nombres suffisamment lisses. Des mathématiciens connus tels que James Sylvester, Solomon Golomb, Wacław Sierpiński, Paul Erdős, Ernst G. Straus, Ronald Graham, ou Gérald Tenenbaum ont contribué à ce champ de recherche.