Intégrale de FrullaniDe Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia Pour les articles homonymes, voir Frullani. En analyse mathématique, les intégrales de Cauchy- Frullani, portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme ∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x ( a , b > 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad (a,b>0)} . Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle \left]0,+\infty \right[} et admet une limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et ∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ( f ( ∞ ) − f ( 0 ) ) ln a b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}} . Démonstration On a, par changement de variable, I = ∫ ε A f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ∫ a ε a A f ( t ) t d t − ∫ b ε b A f ( t ) t d t = ∫ a ε b ε f ( t ) t d t − ∫ a A b A f ( t ) t d t {\displaystyle I=\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{a\varepsilon }^{aA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{b\varepsilon }^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t} Donc I = ∫ a ε b ε f ( t ) − f ( 0 ) t d t + f ( 0 ) ln b a − ∫ a A b A f ( t ) − f ( ∞ ) t d t − f ( ∞ ) ln b a {\displaystyle I=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t+f(0)\ln {\frac {b}{a}}-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t-f(\infty )\ln {\frac {b}{a}}} Donc ∫ ε A f ( a x ) − f ( b x ) x d x − ( f ( ∞ ) − f ( 0 ) ) ln a b = ∫ a ε b ε f ( t ) − f ( 0 ) t d t − ∫ a A b A f ( t ) − f ( ∞ ) t d t {\displaystyle \int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x-(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t} , d'où le résultat en faisant tendre ε {\displaystyle \varepsilon } vers 0 et A {\displaystyle A} vers l'infini.
Pour les articles homonymes, voir Frullani. En analyse mathématique, les intégrales de Cauchy- Frullani, portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme ∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x ( a , b > 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad (a,b>0)} . Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle \left]0,+\infty \right[} et admet une limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et ∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ( f ( ∞ ) − f ( 0 ) ) ln a b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}} . Démonstration On a, par changement de variable, I = ∫ ε A f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ∫ a ε a A f ( t ) t d t − ∫ b ε b A f ( t ) t d t = ∫ a ε b ε f ( t ) t d t − ∫ a A b A f ( t ) t d t {\displaystyle I=\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{a\varepsilon }^{aA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{b\varepsilon }^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t} Donc I = ∫ a ε b ε f ( t ) − f ( 0 ) t d t + f ( 0 ) ln b a − ∫ a A b A f ( t ) − f ( ∞ ) t d t − f ( ∞ ) ln b a {\displaystyle I=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t+f(0)\ln {\frac {b}{a}}-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t-f(\infty )\ln {\frac {b}{a}}} Donc ∫ ε A f ( a x ) − f ( b x ) x d x − ( f ( ∞ ) − f ( 0 ) ) ln a b = ∫ a ε b ε f ( t ) − f ( 0 ) t d t − ∫ a A b A f ( t ) − f ( ∞ ) t d t {\displaystyle \int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x-(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t} , d'où le résultat en faisant tendre ε {\displaystyle \varepsilon } vers 0 et A {\displaystyle A} vers l'infini.