Lagrangien
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En physique, le lagrangien d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permettent d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système. Son nom vient de Joseph-Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé (à partir de 1788).
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Le concept de lagrangien a pris une importance fondamentale en physique classique[1] (voir la page équations de Lagrange) et quantique[2] (voir la page lagrangien en théorie des champs) comme base du principe de moindre action ; le théorème d'E. Noether établit le lien entre les symétries du lagrangien d'un système et les grandeurs physiques conservées[3].
Considérons un système dynamique repéré par des paramètres de position qi (aussi appelés coordonnées généralisées[4]). Au cours du temps, ces paramètres varient, leur vitesse de variation étant . L'ensemble des paramètres du système est constitué des qi, des et du temps t. Dans un grand nombre de situations, il est possible de définir une fonction telle que, si on pose :
(la dérivée partielle étant calculée comme si les paramètres étaient indépendants entre eux), alors les équations du mouvement sont données par[5] :
Formellement, on constate que ces équations s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :
avec l'action .
Les équations du mouvement obtenues sont alors équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange issues du principe précédent. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.