Polynôme d'Hermite
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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite[1] (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810[2],[3], et par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités, et apparaissent aussi en 1859 dans un article de Pafnouti Tchebychev[4], cinq ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
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Ces polynômes apparaissent dans de nombreux champs d'application :
- traitement du signal dans les ondelettes hermitiennes (en) en analyse par transformée en ondelettes ;
- probabilité, comme dans les séries d'Edgeworth, ou dans l'étude du mouvement brownien ;
- combinatoire, comme exemple de suite d'Appell, suivant le calcul ombral ;
- analyse numérique dans les méthodes de quadrature de Gauss ;
- physique, où ils apparaissent dans l'écriture des états propres de l'oscillateur harmonique quantique, ou dans certains cas de l'équation de la chaleur ;
- théorie des systèmes en connexion avec des opérations non-linéaires sur un bruit gaussien ;
- étude des matrices aléatoires dans des ensembles gaussiens.