Système d'unités de Planck
système d'unités défini par des constantes fondamentales / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
Cher Wikiwand IA, Faisons court en répondant simplement à ces questions clés :
Pouvez-vous énumérer les principaux faits et statistiques sur Système d'unités de Planck?
Résumez cet article pour un enfant de 10 ans
Pour les articles homonymes, voir Planck.
En physique, le système d'unités de Planck est un système d'unités de mesure défini uniquement à partir de constantes physiques fondamentales. Il a été nommé en référence à Max Planck, qui l'introduisit (partiellement) à la fin de l'article présentant la constante qui porte à présent son nom, la constante de Planck.
Cet article ne cite pas suffisamment ses sources ().
Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références »
En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?
C'est un système d'unités naturelles, dans le sens où une liste définie de constantes physiques fondamentales valent 1, lorsqu’elles sont exprimées dans ce système. Étant définies uniquement à partir de constantes physiques fondamentales, le choix de telles unités élimine l’arbitraire anthropocentrique associé au choix des unités fondamentales d'un système d’unités. Dans ce sens, il peut être considéré comme universel, et certains physiciens pensent que c'est le système d'unité qu'il faudrait utiliser pour tenter de communiquer avec une intelligence extra-terrestre[1].
Historique
Le concept d'unités naturelles a été introduit en 1881, lorsque George Johnstone Stoney, notant que la charge électrique est quantifiée, a dérivé des unités de longueur, de temps et de masse, en normalisant à l'unité la constante gravitationnelle G, la vitesse de la lumière c, et la charge de l'électron. Ces unités sont à présent appelées unités Stoney en son honneur, mais ne sont pas utilisées en pratique.
Max Planck a fait pour la première fois la liste de ses unités naturelles (et en a donné des valeurs remarquablement proches de celles que nous utilisons aujourd’hui) en mai 1899 dans un article présenté à l’Académie des sciences de Prusse[2].
Au moment où il présenta ses unités, la mécanique quantique n’avait pas encore été découverte. Il n’avait pas encore découvert la théorie du rayonnement du corps noir (publiée pour la première fois en décembre 1900) dans laquelle la constante de Planck fit sa première apparition et pour laquelle Planck obtint plus tard le prix Nobel. Les parties importantes de l'article de 1899 comportaient quelques confusions sur la manière dont il a réussi à trouver les unités de temps, longueur, masse, température, etc., que nous définissons aujourd’hui en utilisant la constante de Dirac , et à les motiver par des considérations de physique quantique avant que et la physique quantique ne soient connus. Voici une citation de l'article de 1899 qui donne une idée sur la manière dont Planck a considéré son ensemble d’unités :
- « …ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig behalten und welche daher als »natürliche Maßeinheiten« bezeichnet werden können… »
- « …Elles gardent nécessairement leur signification pour tous les temps et toutes les civilisations, mêmes extraterrestres et non humaines, et peuvent donc être désignées « unités naturelles »… »
Les valeurs numériques données par Planck dans son article fondateur étaient proches des valeurs actuellement admises.
Dans sa première publication, Planck n'avait considéré que les unités basées sur les constantes physiques G, ħ, c, et kB, ce qui conduit à des unités naturelles pour la masse, la longueur, le temps et la température, mais pas la charge électrique[3]. Planck n'avait donc pas défini une unité associée à l'électromagnétisme. Dans la mesure où c'est la constante d'attraction gravitationnelle qui est normalisée à l'unité dans le système de Planck, une extension naturelle de ce système est de normaliser de même l'attraction électromagnétique entre deux charges élémentaires donnée par la loi de Coulomb, ce qui conduit à la valeur indiquée ci-dessous[4].
Intérêt d'un système naturel
L'utilisation pratique de ce système d'unité est indissociable de sa convention de notation.
Tout système d'unités repose sur des unités fondamentales, qui portent le plus souvent un nom particulier : dans le système international d'unités, par exemple, l'unité de base pour la mesure des longueurs est le mètre. Dans le système d'unités de Planck, l'unité de longueur s'appelle simplement la longueur de Planck (lP), l'unité de temps est le temps de Planck (tP), et ainsi de suite (les variables recevant un indice "P" pour indiquer qu'elles représentent l'unité correspondante de Planck).
Ces unités sont définies à partir de cinq constantes fondamentales de la physique, de telle manière que ces constantes sont « éliminées » de certaines équations fondamentales de la physique lorsque toutes les grandeurs physiques sont exprimées en unités de Planck. Ainsi, prenons par exemple la loi universelle de la gravitation formulée par Isaac Newton, F=G.m1m2/d2. Dès lors que l'on admet que cette loi est effectivement universelle, elle s'applique également —par hypothèse— aux valeurs des unités de Planck (et ceci, indépendamment de savoir si à ces échelles-là, cette loi est effectivement vérifiée physiquement, voire si elle y a un sens) :
- [M L T−2], et donc [M−1 L3 T−2].
En remplaçant la constante fondamentale G par cette valeur, la loi universelle de la gravitation peut donc également s'écrire de la manière suivante :
- [M L T−2], ou en regroupant les quantités de même nature : [M0 L0 T0].
En terme d'analyse dimensionnelle, ces deux formes sont cohérentes, et également correctes dans n'importe quel système d'unité. Cependant, dans la seconde forme, (1) la constante G a été éliminée, et (2) la formule est sans dimension et ne comprend (entre parenthèses) que des grandeurs sans dimension, puisque le rapport entre deux quantité de même nature est toujours un nombre sans dimension.
Convention de notation de Planck
Maintenant, si par une convention d'écriture on pose que dans toutes les formules, les grandeurs physiques seront notées par leur mesure physique exprimée en unité de Planck, on peut exprimer la seconde formule en remplaçant ces rapports sans dimensions par cette mesure[5]. Autrement dit, par exemple, avec cette convention de notation cette même formule de la loi universelle de gravitation s'exprime sous la forme :
- [M0 L0 T0],
C'est-à-dire que formellement, la constante de gravitation dans ce système de notation : c'est une constante qui vaut l'unité, et qui est sans dimension. Mais pour que cette dernière forme ait un sens valide, sans que la constante G ne soit mentionnée, il faut bien comprendre que ces quantités F, m1, m2 et d, et de même toute grandeur physique intervenant dans la formule « en unité de Planck », ne sont plus des grandeurs physiques mais sont aussi toujours des nombres sans dimension, représentant une mesure physique exprimée en unité de Planck.
C'est pour cette raison que le système d'unités de Planck (de même que n'importe quel système d'unités naturelles) doit être employé avec précaution. Sur cette notation conduisant à écrire G = c = 1, Paul S. Wesson (en) faisait le commentaire que « mathématiquement parlant, c'est une convention de notation acceptable, qui simplifie l'écriture. Physiquement, en revanche, la notation représente une perte d'information, et peut induire à confusion »[6]. En effet, par convention, toutes les valeurs intervenant sont sans dimension, il n'y a jamais aucune mention de l'unité de mesure, et par conséquent, l'analyse dimensionnelle ne peut plus mettre en évidence aucune incohérence dimensionnelle.
Constantes fondamentales normalisées
Les constantes fondamentales normalisées par le système sont les suivantes :
Constante | Symbole | Dimension | Valeur approchée, en système SI[7] |
---|---|---|---|
Constante gravitationnelle | G | M-1 L3 T-2 | |
Constante de Planck réduite | (= h/2π, où h est la constante de Planck) | M L2 T-1 | |
Vitesse de la lumière dans le vide | c | L T-1 | |
Constante de Boltzmann | kB | M L2 T-2 Θ-1 | |
Constante de Coulomb | kC = 1/4πε0 où ε0 est la permittivité du vide |
L3 M T −2 Q−2 |
L’impédance de Planck est égale à l’impédance caractéristique du vide divisée par 4π : on a donc, en termes d’unités de Planck, . Le coefficient 4π vient du fait que c’est la constante de la loi de Coulomb qui est normalisée à 1, et non la permittivité du vide . Comme discuté plus bas, c’est une définition arbitraire, qui n’est peut-être pas optimale dans la perspective de définir le système d’unité physique le plus naturel possible comme le vise le système de Planck.
Unités de base
À partir de ces cinq constantes de base, dont la valeur dans le système d'unité est posé « par définition » égal à l'unité, il est possible de redéfinir les cinq unités fondamentales d'un système d'unités. Les formules permettant de passer de l'un à l'autre découlent directement des équations aux dimensions correspondantes. Les « dimensions fondamentales » sont la masse M, la longueur L, le temps T, la température Θ et la charge électrique Q.
- [G] = M−1 L3 T−2
- [h] = M L2 T−1
- [c] = L T−1
- [kB] = M L2 T−2 Θ−1
- [kC] = M L3 T−2 Q−2
Les unités de Planck sont alors ainsi définies :
Nom | Dimension | Formule | Valeur approchée (en unités du SI) |
---|---|---|---|
Longueur de Planck | longueur (L) | 1,616 × 10−35 m | |
Masse de Planck | masse (M) | 2,177 × 10−8 kg | |
Temps de Planck | temps (T) | 5,391 × 10−44 s | |
Température de Planck | température (Θ) | 1,416 833 139 × 1032 K | |
Charge de Planck | charge électrique (Q) | 1,875 × 10−18 C |
Inversement, les constantes de la physique peuvent être exprimées simplement en utilisant les unités de base de Planck :
La charge de Planck n’a pas été définie ni proposée à l’origine par Planck. C’est une unité de charge qui a été définie de la même manière que les autres unités de Planck et qui est utilisée par les physiciens dans certaines publications. La charge élémentaire est liée à la charge de Planck de la manière suivante :
où est la constante de structure fine :
La charge de Planck vaut donc sensiblement 11,7 fois la charge de l'électron.
Unités dérivées
À partir des unités de base il est bien entendu possible de définir n'importe quelle unité physique. Les unités dérivées effectivement intéressantes sont celles qui auront une signification physique en termes de maximum ou minimum atteignable par une certaine entité.
Nom | Dimension | Formule | Valeur approchée (en unités du SI) |
---|---|---|---|
Force de Planck | force (M L T-2) | 1,210 × 1044 N | |
Énergie de Planck | énergie (M L2 T-2) | 1019 GeV = 1,956 × 109 J | |
Puissance de Planck | puissance (M L2 T-3) | 3,629 × 1052 W | |
Quantité de mouvement de Planck | Quantité de mouvement (M L T-1) | 6.5 N.s | |
Densité de Planck | masse volumique (M L-3) | 5,1 × 1096 kg/m3 | |
Fréquence de Planck | fréquence (T-1) | 1,855 × 1043 rad/s | |
Pression de Planck | pression (M L-1 T-2) | 4,635 × 10113 Pa | |
Courant de Planck | courant électrique (Q T-1) | 3,479 × 1025 A | |
Tension de Planck | tension (M L2 T-2 Q-1) | 1,043 2 × 1027 V | |
Impédance de Planck | résistance électrique (M L2 T-1 Q-2) | 2,998 6 × 101 Ω | |
Masse linéique de Planck | (M L-1) | 1,346 64 × 1027 kg m−1 | |
Impédance mécanique de Planck | (M T-1) | 4,037 11 × 1035 kg s−1 |
La masse linéique de Planck est le rapport de la masse au rayon d'un trou noir de Schwarzschild, de compacité égale à un.
Normalisations alternatives
Le facteur 4π
Comme indiqué ci-dessus, les unités de Planck sont définies en « normalisant » à l'unité la valeur numérique de certaines constantes fondamentales. Cependant, le choix des constantes à normaliser n'est pas unique, et le choix habituellement présenté n'est pas nécessairement le meilleur. De plus, ces constantes fondamentales se retrouvent dans différentes équations de physiques parfois affectées d'une constante numérique différente, et il n'est pas évident de choisir celle des équations qui devra être ainsi simplifiée au détriment des autres.
Le facteur 4π, par exemple, est omniprésent en physique théorique, fondamentalement parce que dans un espace à trois dimensions[8] la surface d'une sphère de rayon r est 4π.r2. C'est fondamentalement pour cette raison, et à cause des différentes lois de conservation du flux, et du calcul de divergence appliqués à la densité de flux, que beaucoup de phénomènes physiques suivent une loi en carré inverse, comme la loi de Gauss ou la loi de l'attraction universelle. Le champ gravitationnel ou le champ électrique produit par une particule ponctuelle a une symétrie sphérique ; et le facteur 4π qui apparaît par exemple dans l'expression de la loi de Coulomb vient de ce que le flux d'un champ électrostatique est uniformément réparti sur la surface de la sphère, et que son intégrale sur la sphère (qui donne le flux total) se conserve quand le rayon de cette sphère varie — mais il en est fondamentalement de même pour le champ gravitationnel.
Dans la réduction des lois physiques correspondantes, la question devient alors de savoir s'il vaut mieux réduire l'attraction élémentaire physiquement perceptible (ce qui impose un facteur 4π dans l'expression du flux élémentaire créé par une particule), ou s'il faut réduire le flux élémentaire d'une particule (faisant apparaître un facteur 4π dans l'expression de la force associée).
Constante gravitationnelle et facteur 4π
Avant l'émergence de la relativité restreinte en 1905, la loi de l'attraction universelle telle que formulée par Isaac Newton était considérée comme exacte (au lieu de n'être qu'une approximation valable aux faibles vitesses et aux faibles champs de gravité), et la « constante universelle de gravitation » avait été historiquement définie par Newton sans considération particulière à des considérations de conservation de flux. Dans ce contexte, il était naturel que le choix de Planck, dans son article de 1899, ait été de normaliser cette constante G à l'unité. Mais dans les descriptions ultérieures de la gravité données par la relativité générale, qui apparaissent à présent plus fondamentales que les équations de l'attraction universelle, la constante gravitationnelle apparaît toujours dans les formules multipliées par 4π, ou par un petit multiple de ce nombre.
S'il fallait aujourd'hui normaliser cette constante dans un système naturel d'unités, le choix serait plutôt fait de simplifier ces équations plus fondamentales, quitte à faire apparaître un facteur 1/4π dans l'expression de l'attraction newtonienne. C'est ce même facteur qui apparaît dans la loi de Coulomb, quand elle est exprimée en termes de la permittivité du vide. Et, de fait, des normalisations alternatives en unités naturelles conservent ce facteur aussi bien dans l'expression de la gravitation que dans celle des lois de Coulomb, si bien que les équations de Maxwell en électromagnétisme et en gravitoélectromagnétisme prennent une forme similaire à celle de l'électromagnétisme dans le système SI, qui n'a pas ce facteur 4π.
En normalisant à l'unité la constante 4πG :
- Le théorème de Gauss pour la gravitation se réduit à Φg = −M.
- La formule de Bekenstein–Hawking donnant l'entropie d'un trou noir en fonction de sa masse mBH et de la surface ABH de son horizon se simplifie en SBH = πABH = (mBH)2, si ABH et mBH sont mesurées dans les unités de Planck alternatives décrites ci-après.
- L'impédance caractéristique d'une onde gravitationnelle dans le vide, qui vaut 4πG/c, est égale à l'unité en unité réduite.
- Il n'y a plus de facteur 4π qui apparaisse dans les équations de gravitoélectromagnétisme applicables en champ gravitationnel faible ou dans un espace de Minkowski localement plat. Ces équations ont la même forme que les équations de Maxwell, où la densité de masse joue le rôle de la densité de charge, et où 1/4πG remplace ε0.
En normalisant plutôt la constante 8πG, on peut éliminer ce facteur de l'équation d'Einstein, de la formule d'action d'Einstein-Hilbert, des équations de Friedmann, et de l'équation de Poisson pour la gravitation. Ces unités de Planck, modifiées de manière que 8πG = 1, sont connues sous le nom de « unités de Planck réduites », parce que la masse de Planck réduite est divisée par √8π. En outre, les équations de Bekenstein–Hawking pour l'entropie d'un trou noir se simplifient en SBH = 2(mBH)2 = 2πABH.
Électromagnétisme et facteur 4π
Inversement, la définition usuelle des unités de Planck normalise à l'unité la constante de Coulomb 1/4πε0. Avec cette convention, l'impédance de Planck ZP vaut Z0/4π, où Z0 est l'impédance caractéristique du vide. Si au contraire c'est la permittivité du vide ε0 qui est normalisée à 1 :
- La constante magnétique µ0 = 1 (parce que c = 1 dans ce système naturel d'unités).
- L'impédance de Planck devient égale à l'impédance caractéristique du vide, ZP = Z0 (ou en unités de Planck, l'impédance caractéristique du vide Z0 devient égale à 1).
- Le facteur 4π est éliminé des équations de Maxwell.
- Le facteur ε0 est éliminé des formes réduites de la loi de Coulomb. Mais un facteur 4πr2 subsiste au dénominateur, parce que c'est la surface d'une sphère de rayon r.
Réduction de la constante de Boltzmann
Les unités de Planck normalisent à un la constante de Boltzmann kB, telle qu'elle a été définie par Ludwig Boltzmann en 1873. Si inversement on normalise la constante 1/2kB, le choix de l'équation physique simplifiée est changé :
- Le facteur 2 apparaît dans la formule de Boltzmann réduite donnant l'entropie en fonction de la température.
- Inversement, le facteur 1/2 disparaît dans l'expression décrivant l'énergie thermique par particule et par degré de liberté.
À part la température de Planck qui est alors doublée, cette modification n'affecte aucune autre unité de base de Planck.
Normalisation de la charge élémentaire
La valeur de la constante (sans dimension) de structure fine est définie par la quantité de charge, mesurée en unités naturelles (charge de Planck), que les électrons, protons, et autres particules chargée ont effectivement, par rapport à la charge de Planck définie ci-dessus. On constate que la charge de Planck est de l'ordre de 11.7 fois celle de l'électron. Mais contrairement aux autres grandeurs physiques, la charge élémentaire apparaît comme une constante fixe pour la physique des particules, et la charge de Planck de son côté ne semble pas avoir de signification physique particulière.
Une autre convention possible pour le système de Planck est donc de retenir cette valeur de la charge élémentaire comme unité élémentaire de la charge électrique[9]. Cette alternative présente un intérêt pour décrire la physique d'un trou noir.
Ces deux conventions susceptibles d'être adoptées pour la charge élémentaire diffèrent d'un facteur qui est la racine carrée de la constante de structure fine[10].