Théorème de Thalès
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Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie plane, qui affirme qu'une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle définit, avec les droites des deux autres côtés, un nouveau triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du premier (voir énoncé précis ci-dessous). En anglais, il est souvent appelé intercept theorem (soit « théorème d'interception »), et en allemand Strahlensatz (littéralement « théorème des rayons ») ou Vierstreckensatz, (« théorème des quatre segments »).
L'attribution du théorème à Thalès, philosophe et mathématicien grec du vie siècle av. J.-C., n'est pas retenue par les historiens. Elle s'explique probablement par une légende rapportée par Plutarque selon laquelle Thalès aurait calculé la hauteur d'une pyramide par proportionnalité, en mesurant la longueur de son ombre au sol et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur connue.
La démonstration écrite la plus ancienne connue de ce théorème apparait vers 300 av. J.-C. dans les Éléments d'Euclide (proposition 2 du livre VI). Elle utilise la proportionnalité d'aires de triangles de hauteur égale (voir ci-dessous le détail de la preuve).
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs en trigonométrie, à condition de disposer de deux droites parallèles. Cette propriété est utilisée dans des instruments de calcul de longueurs.
Plus abstraitement le théorème de Thalès est essentiellement un résultat de géométrie affine, où il correspond à la conservation par projection des rapports de mesures algébriques entre points alignés. Il se généralise en dimension supérieure. En géométrie projective il se généralise à la conservation du birapport par projection conique.
En allemand, et souvent en anglais, le théorème de Thalès désigne un autre théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle, et dont un côté est un diamètre, est un triangle rectangle.