Équation de Poisson
équation aux dérivées partielles du second ordre particulière / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre suivante :
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où est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée.
Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique.
Ce problème est important en pratique :
- En électrostatique, la formulation classique (voir Équation de Poisson-Boltzmann) exprime le potentiel électrique associé à une distribution connue de charges par la relation
- En gravitation universelle, le potentiel gravitationnel est relié à la masse volumique par la relation
- En mécanique des fluides, pour des écoulements incompressibles, la pression est reliée au champ de vitesse par une équation de Poisson. Par exemple, en 2D, en notant les composantes du champ de vitesse , la relation s'écrit :
- où représente la masse volumique du fluide.