תורת שדה ממוצע
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
תורת שדה ממוצע (Mean Field Theory - MFT) היא שיטה בפיזיקה סטטיסטית ותורות הסתברות נוספות המאפשרת תיאור והבנת מערכות סטוכסטיות על ידי מיצוע על דרגות חופש מיקרוסקופיות (לכן "ממוצע") ורדוקציה של ממדיות הבעיה לתיאור מקרוסקופי. קירובים כאלו ממצעים על דרגות חופש כגון מיקום יחסי, צפיפות מסה, תנע, תנע זוויתי, מגנטיזציה וכדומה, כתלות בבעיה אותה מנסים לפתור.
דרגות החופש יכולות לבוא באינטראקציה אחת עם השנייה (למשל - ספין של חלקיק אחד בא באינטראקציה עם ספין סמוך לו. שני הספינים נחשבים לדרגות חופש מיקרוסקופיות נפרדות), והמיצוע צריך להתחשב בכך. לרוב נייצג את ההשפעה של כל השכנים של חלקיק מסוים על דרגות החופש של החלקיק באמצעות שדה ממוצע. כך ניתן לצמצם בעיה רב גופית, שאינה פתירה עקרונית באופן אנליטי דטרמיניסטי, לבעיה דו-גופית של החלקיק והשדה הממוצע. השיטה גם מכונה "פיתוח עקבי-עצמי" כיוון שניתן כעת לסכום על כל החלקיקים ולשחזר את השדה מהממוצע, מה שמניב, באופן כללי, משוואה אינטגרלית.
הרעיון הופיע לראשונה בפיזיקה בעבודתו של פייר קירי[1] ופייר ווייס כדי לתאר מעברי פאזה[2]. גישות נוספות שאימצו את השיטה תרמו למחקר ויישומים במודלים אפידמיולוגיים[3], תורת התורים[4], ביצועי רשתות מחשבים גדולות ותורת המשחקים[5].
בעיה עם גופים רבים עם אינטראקציות באופן כללי אינה פתירה במדויק (אפילו בהתייחסות סטטיסטית לבעיה ושימוש בפונקציית החלוקה) למעט למקרי קיצון פשוטים בעלי סימטריה רבה (כגון תורת שדה אקראי ומודל איזינג בממדים נמוכים מ-3). בתורת שדה ממוצע, הבעיה הרב-גופית מוחלפת בבעיה חד-גופית בשדה חיצוני הנבנה על ידי מיצוע אינטראקציות מיקרוסקופיות - המיצוע למעשה מחליף את האינטראקציות מכל שאר החלקיקים על חלקיק שרירותי בשדה אפקטיבי, דרגת חופש יחידה. הקושי הגדול (למשל של חישוב פונקציית החלוקה) נעוץ בדרך כלל בספירה קומבינטורית של כמות האינטראקציות הנוצרות בעקבות רכיבי האינטראקציה בהמילטוניאן כאשר סוכמים על כל המצבים. המטרה של תורת השדה הממוצע היא לפתור את הבעיות הקומבינטריות האלו. הקלות שבה השיטה מובילה לתובנות וניבויים הנוגעים לגבי התנהגות המערכת (כתוצאה מאוניברסליות של מערכות מורכבות) הופכת אותה לטכניקה נפוצה.
טכניקות המשתמשות בתורת שדה ממוצע כהנחה מרכזית כוללות את קירוב בראג-ויליאמס, מודלים על עץ קיילי, תורת לנדאו לניתוח מעברי פאזה, קירוב פייר-ווייס ועוד.
בתורת שדות, ניתן לפתח את ההמילטוניאן בטור חזקות של גודל התנודות סביב ממוצע השדה. בהקשר הזה ניתן לחשוב על השדה ממוצע עצמו כ"סדר אפס" של הפיתוח, ממנו כבר ניתן להסיק התנהגויות חשובות של המערכת. למעשה ניתן להשתמש בתורת הפרעות כדי להשתמש בפתרון עבור שדה ממוצע עבור חישוב הסדרים הבאים, ולהשיג תובנות רבות נוספות.
באופן כללי, לממדיות הבעיה תפקיד חשוב בקביעה האם תורת שדה ממוצע תניב תוצאות טובות. ככל שיותר אינטראקציות פועלות על חלקיק יחד במערכת המקורית, כך המיצוע יתן תוצאה מדויקת יותר. זה קורה במערכות בממדים מרחביים גבוהים או בעלות אינטראקציות ארוכות-טווח. קריטריון גינזבורג נותן אומדן פורמלי לכמה התנודות מעבר לשדה הממוצע הופכות את תורת שדה ממוצע לפחות אפקטיבית, כתלות במספר הממדים המרחביים של המערכת.