For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for אופני תנודה עצמיים.

אופני תנודה עצמיים

מספר אופני תנודה בסריג חד-ממדי
מספר אופני תנודה בסריג חד-ממדי

אופני תנודה עצמיים (מלשון אֹפֶן ולא אוֹפַן, באנגלית: Normal Modes) במערכת מתנודדת (בדרך כלל אוסף של מתנדים (אוסצילטורים) הרמוניים מצומדים) הם מצבים מיוחדים בהם כל רכיבי המערכת מתנודדים באותה תדירות (הנקראת "תדירות עצמית" או "תדירות מותרת").

כל צורה אחרת של תנודות במערכת מתקבלת על ידי סופרפוזיציה של אופני תנודה, כלומר, אופני תנודה עצמיים מהווים בסיס לתנועות מורכבות יותר של המערכת. למושג אופן תנודה חשיבות רבה בתחומים שונים בפיזיקה, דוגמת תורת הגלים, אופטיקה ומכניקת הקוונטים, וכן בתחומי הנדסה, דוגמת הנדסת חשמל.

מציאת אופני תנודה מנצלת את כוחה של האלגברה הליניארית המיושמת לגבי מערכת ליניארית של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. את המערכת אפשר לייצג בצורת וקטורים ומטריצה ואז ללכסן אותה, כלומר: לחפש את הווקטורים העצמיים שלה. וקטורים עצמיים אלה הם אופני התנודה של המערכת, והתדירויות העצמיות הן הערכים העצמיים המתאימים.

דוגמה - אופני תנודה של מתנדים מצומדים

נניח שני גופים, כל אחד בעל מסה M, מחוברים זה לזה באמצעות קפיץ בעל קבוע-קפיץ K. חיבורים מתואר באיור הבא:

Two masses.png

כאשר נקודות הקצה מקובעות ואינן יכולות לזוז. אנו נציין ב - את ההעתק של המסה השמאלית ממצב שיווי המשקל, וב נציין את ההעתק של המסה הימנית.

אם נציין את הנגזרת השנייה של ההעתק לפי הזמן בסימון אזי המשוואות הן:

מאחר שאנו מצפים לפתרון מתנודד ננחש פתרון שהוא אופן תנודה ובו שתי המסות מתנודדות באותה תדירות:

בהצבתן במשוואות נקבל:

מאחר שאיבר האקספוננט (ה"פאזה" של המערכת) שונה מאפס ומשותף לכולם, נצמצם בו. נפשט את המשוואות ונקבל:

ובייצוג מטריצי:

כדי שיהיה קיים למערכת זו פתרון לא-טריוויאלי (במשתנים A1 ו-A2), על הדטרמיננטה להתאפס. כלומר:

נפתור עבור , ונקבל:

אלו הן התדירויות העצמיות, כעת נחפש את הווקטורים העצמיים המתאימים.

אם נציב במטריצה ונפתור עבור (), נקבל את הווקטור (1, 1). אם נציב , נקבל את הווקטור (1, 1-).

אופן התנודה הראשון הוא

אופן התנודה השני הוא

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של אופני התנודה כאשר c1, c2, φ1, ו φ2, נקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה (במקרה שלנו, ההעתק והמהירות ההתחלתית של כל מסה).

התהליך שהודגם כאן גם ניתן להכללה, לניסוח ולביצוע גם בפורמליזם הלגראנז'י וההמילטוני (כלומר: מכניקה אנליטית עם לגראנז'יאן או המילטוניאן).

גלים עומדים

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – גל עומד

גל עומד הוא צורה רציפה של אופן תנודה. בגל עומד כל האלמנטים המרחביים (מיוצגים על ידי הקואורדינטות x,y,z) מתנודדים באותה תדירות ובאותה פאזה (מגיעים ביחד לנקודת שיווי המשקל), אך לכל אלמנט מרחבי אמפליטודה משלו.

Standing-wave05.png

המשוואה הכללית המתארת גל עומד היא

כאשר מייצגת את "גל המעטפת", התלות של האמפליטודה במיקום במרחב, ואילו רכיבי הסינוס והקוסינוס מייצגים את התנודות בזמן.

מבחינה פיזיקלית, גלים עומדים נוצרים על ידי התאבכות: סופרפוזיציה של גלים (נוסעים) וההחזרות שלהם. חשוב לציין שאפשר לתאר זו גם להפך: גל נוסע הוא סופרפוזיציה של גלים עומדים. הצורה הגאומטרית של התווך בו מתרחשים התנודות קובעת את תבנית ההתאבכות, כלומר את צורת גל המעטפת . פתרון רציף כזה נקרא אופן תנודה.

בדרך כלל, בבעיות עם תלות רציפה בקואורדינטות x,y,z אין מספר סופי של אופני תנודה, אלא יש מספר אינסופי של אופני תנודה אפשריים. אם הבעיה חסומה (כלומר: מוגדרת על קטע סופי וקומפקטי של המרחב) אז יש מספר בן מנייה (אינסוף בדיד) של אופני תנודה (בדרך כלל מסדרים אותה בסדרה לפי הערכים העצמיים). אם הבעיה איננה חסומה יש ספקטרום רציף של אינסוף אופני תנודה.

התדירויות המותרות תלויות באופני התנודה, וכן בקבועים הפיזיקליים של הבעיה (צפיפות התווך, מתיחות התווך, לחץ וכדומה) שקובעות את מהירות הפאזה של הגל. אוסף כל התדירויות המותרות נקרא ספקטרום התדירות של הבעיה. בדרך כלל, כל תדירות מדוגמת באמפליטודה (של אופן התנודה המתאים) או באנרגיה שהיא נושאת, ואז נוצר גרף של ספקטרום אנרגיה של התנודות.

במוזיקה, אופני תנודה של כלים רוטטים (כלי מיתר, חלילים וכלי נשיפה, תופים ועוד) נקראות הרמוניות או צלילים עיליים.

אופני תנודה במכניקת הקוונטים

Postscript-viewer-blue.svg ערכים מורחבים – מכניקה קוונטית, משוואת שרדינגר

במכניקת הקוונטים, מצב של מערכת מתואר על ידי פונקציית גל של (x, t) שפותרת את משוואת שרדינגר. הריבוע של הערך המוחלט של המשרעת , כלומר

היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום x בזמן t.

בדרך כלל, כאשר יש פוטנציאל בבעיה, פונקציית הגל מפורקת לסופרפוזיציה של מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (מצבים עצמיים של האנרגיה), שכל אחד מהם "מתנודד" בתדירות . לכן, אפשר לכתוב

כאן, למצב העצמי יש משמעות פיזיקלית נוספת. כאשר האנרגיה של המערכת נמדדת, פונקציית הגל קורסת לאחד המצבים העצמיים ונשארת שם. כלומר, אחרי המדידה: פונקציית הגל מתוארת על ידי מצב עצמי טהור שמתאים לאנרגיה שנמדדה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אופני תנודה עצמיים בוויקישיתוף
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
אופני תנודה עצמיים
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.