אינטגרל קווי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, אינטגרל קווי (לעיתים גם אינטגרל לאורך עקום, אינטגרל מסלולי או אינטגרל מסילתי) הוא אינטגרל המחושב לאורך מסילה במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי. כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים. הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל ערכים ממשיים, או ערכים וקטוריים בכל מרחב בנך (ובכלל זה המרחב האוקלידי).
בערך זה |
האינטגרל נקרא לפעמים מסוג ראשון כאשר הוא מסכם פונקציה סקלרית (ממשית או מרוכבת), או מסוג שני כאשר הוא מסכם פונקציה וקטורית. האינטגרל מהסוג השני הוא למעשה סכום של רכיבים של וקטור, שרכיביו הם בעצמם אינטגרלים מהסוג הראשון. לשני הסוגים ישנן משמעויות פיזיקליות שונות, ולכן לעיתים דרך הטיפול בהם שונה.
הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף עקום, כגון חוט דק. בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת אורך, מסה, או מטען חשמלי. האינטגרל הקווי מחשב כוח הפועל על גוף המיוצג על ידי עקום, או עבודה של כוח המניע מסה לאורכו, כמו גם התנהגות של שדות פיזיקליים (למשל, שדה חשמלי) על פני מסלולים.
לאינטגרלים קוויים של פונקציות אנליטיות או הרמוניות ישנן תכונות מתמטיות הקושרות אותם לערכי הפונקציה במשטח שאותו סוגר העקום. בקשרים אלה עוסקים כמה משפטים באנליזה מרוכבת, באנליזה וקטורית ובאנליזה הרמונית.
נהוג לסמן אינטגרל קווי לאורך מסלול בסימן . אם הוא מסלול סגור, מסמנים אותו לעיתים . לעיתים מסמנים אינטגרל קווי באופן זהה לזה של אינטגרל לא מסוים או בדומה לאינטגרל מסוים, כאשר בתחתית ה-S הארוכה מציינים את נקודת התחלת המסלול ובראשה את נקודת סיומו, בשני המקרים תוך ציון מילולי כי האינטגרציה נעשית לאורך העקום.