אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)
מבנה אלגברי / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, אלגברה בּוּליאנית הוא סוג של מבנה אלגברי, הקרוי על-שמו של המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' בול (1815–1864). זהו גם שמו של התחום "אלגברה בוליאנית" העוסק בחקר אלגברות בוליאניות.
כמבנה אלגברי, אלגברה בוליאנית היא אוסף של איברים, עם פעולות המקיימות אקסיומות מסוימות. האקסיומות המייחדות אלגברות אלה ממבנים אלגבריים אחרים, מתארות את הפעולות הבסיסיות בין קבוצות – חיתוך, האיחוד ופעולת המשלים – וכן את הפעולות הלוגיות, וגם, או ושלילה.
כיוון שערכי אמת ניתנים לייצוג על ידי המספרים הבינאריים 0 ו-1, וכן על ידי רמות מתח במעגלים לוגים, הרי שגם מושגים אלו ניתנים לטיפול במסגרת האלגברה הבוליאנית. לפיכך, לאלגברה בוליאנית שימושים רבים, הן בהנדסת חשמל, הן במדעי המחשב והן בלוגיקה מתמטית.
אלגברה בוליאנית נקראת גם סריג בוליאני. ניתן לראות את הקשר עם תורת הסריגים באמצעות ההתייחסות ליחס ההכלה של קבוצות כיחס הסדר . נתבונן למשל בסריג המכיל את כל תת-הקבוצות של הקבוצה . קבוצה זו סדורה חלקית באמצעות יחס ההכלה. לכן, לדוגמה, מתקיים . בנוסף לכך, לכל זוג איברים, לדוגמה קיים חסם עליון (במקרה זה ) וחסם תחתון (במקרה זה ). ניתן לראות בפעולות החסם העליון והתחתון את המקבילות של פעולות האיחוד והחיתוך בהתאמה.