אלגברות קיילי-דיקסון
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, אלגברות קיילי-דיקסון הן האלגברות המתקבלות באמצעות בניית קיילי-דיקסון (עם הקבוע 1-) מן השדה של המספרים הממשיים. האלגברה הראשונה בסדרה היא שדה המספרים המרוכבים. אחר-כך מקבלים את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואת אלגברת האוקטוניונים, שאלטרנטיבית אך לא אסוציאטיבית. בהמשך הסדרה מתקבלות אלגברות לא אלטרנטיביות (ובפרט לא אסוציאטיביות) נוספות פשוטות ממימד 16, 32, 64, וכן הלאה.
ערך מחפש מקורות | |
לכל אלגברת קיילי-דיקסון יש אינוולוציה המכלילה את פעולת הצמוד המרוכב, ובאמצעותה מוגדרת תבנית נורמה: הנורמה של איבר היא מכפלתו בצמוד שלו. האלגברות המתקבלות במהלך הבניה מאבדות תכונות חשובות בזו אחר זו: השדה הממשי הוא האלגברה היחידה שכל איבריה סימטריים; השדה המרוכב הוא האלגברה הקומוטטיבית האחרונה; אלגברת הקווטרניונים היא האלגברה האסוציאטיבית האחרונה; ואילו אלגברת האוקטוניונים היא האלגברה האלטרנטיבית האחרונה, וגם האחרונה שאין בה מחלקי אפס. עם זאת, כולן ריבועיות ומקיימות את הזהות הגמישה. הן פשוטות, והמרכז שלהן שווה לשדה הבסיס.
אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס. באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל אלגברות הקווטרניונים, ובצעד השלישי כל אלגברות האוקטוניונים -- ראו בניית קיילי-דיקסון.