For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for אנטרופיית פון נוימן.

אנטרופיית פון נוימן

איור 1- ג'ון פון נוימן
איור 1- ג'ון פון נוימן

אנטרופיית פון ניומן היא הכללה קוונטית של אנטרופיית שאנון הקלאסית. אנטרופיה זו הוצעה בשנת 1932 על ידי ג'ון פון נוימן, במפתיע, לפני ששאנון הגה את האנטרופיה שלו (1948). אנטרופיה זו מכמתת את כמות האינפורמציה במערכת, ואת הקורלציה בין מערכות קוונטיות.

אנטרופיית וון ניומן מתקשרת לקידוד מקור (אנ')- התהליך של קידוד ופענוח מידע. המטרה של אנטרופיה זו היא לכווץ מידע כדי להפחית את העלות של אחסונו או העברתו. תאוריה זו נקראת תאוריית קידוד המקור של שאנון[1].

ביטוי מתמטי

במערכות קוונטיות, המתוארות על ידי מטריצת הצפיפות, אנטרופיית וון ניומן מתוארת בצורה הבאה[2]:

ערך זה, בפיזיקה, נותן את הקשר בין מכניקה סטטיסטית-קוונטית ותרמודינמיקה: כאשר מטריצת הצפיפויות תוגדר כך- ( היא פונקציית החלוקה) נקבל את מצב גיבס המתאר סידור מצבים בשיווי משקל תרמודינמי.

נתמקד במרחב הילברט בעל מימד סופי. בהנחה כי המערכת הקוונטית מיוצגת על ידי סידור של מצבים עצמיים , מטריצת הצפיפות, תהא: עבור המקרה הספציפי בו המצבים המעורבים מהווים בסיס אורתונורמלי למרחב הילברט, נקבל כי מטריצת הצפיפות היא אלכסונית, כך שהערכים העצמיים של הם ואנטרופיית פון נוימן תכתב כך:

כאשר הוא משתנה מקרי עם התפלגות . במקרה זה אנטרופיית פון ניומן זהה לאנטרופיית שאנון. במקרה בו המצבים המעורבים אינם אורתונורמליים נקבל כי . ניתן גם להראות כי באופן כללי מתקיים .

תכונות

  1. אי שליליות: , כאשר השווין לאפס מתקיים אם ורק אם מטריצת הצפיפויות מייצגת מצב טהור. תכונה זו נובעת ישירות מהגדרת האנטרופיה, כאשר .
  2. חסם עליון: כאשר הוא מימד מרחב הילברט. מקסימום זה מתקבל עבור מצב מעורב מקסימלי, בו מתפלג אחיד.
  3. אינווריאנטית תחת מעבר בסיס של מטריצת הצפיפויות, זאת אומרת .
  4. אדיטיביות:[4] .
  5. תת חיבוריות: , עבור מצב בי-פרטיטי.
  6. תת-חיבוריות (חזקה):[5]
  7. קעירות: , כאשר הוא אופרטור צפיפות במרחב הילברט עבור קבוצה סופית , ו- פונקציית ההסתברות, כלומר מקיימת ומתקיים: .
  8. אי שוויון עיבוד הנתונים:[6] , כאשר: הוא ערוץ קוונטי יחידני.
  9. אי שוויון המשולש:[4] עבור מערכת בי-פרטיטית מתקיים

אנטרופיית פון נוימן היחסית

באנלוגיה ישירה לאנטרופיית שאנון היחסית, נגדיר את אנטרופיית פון נוימן היחסית:

אנטרופיית פון נוימן היחסית נותנת אינדיקציה לכמה קשה להבחין בין המצבים ו- [8]. אנטרופיה זו נודעת גם כאנטרופיה הקוונטית היחסית.

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ Shanon, C.E (1948). "A mathematical theory of communication". The Bell System Technical Journal. 27 (3): 379–423. doi:10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x.
  2. ^ "Von Neumann Entropy properties" (PDF). EPFL-Quantum_Information_Theory_and_Computation. 2011.
  3. ^ Wilde, M.M. (2013). Quantum Information Theory :. Cambridge University Press. p. 51. ISBN 1316813304.
  4. ^ 1 2 Huzihiro, Araki; Elliott H., Lieb (1970). "Entropy inequalities". Communications in Mathematics Physics. 18 (2): 160–170. doi:10.1007/BF01646092-7305.1948.tb01338.x.
  5. ^ Mary Beth, Ruskai; Elliott H., Lieb (1973). "Proof of the strong subadditivity of quantum‐mechanical entropy". Mathematical Physics. 14 (12): 1938–1941. doi:10.1063/1.1666274.
  6. ^ Göran, Lindblad (1975). "Completely positive maps and entropy inequalities". Communications in Mathematical Physics. 40 (2): 147–151. doi:10.1007/BF01609396.
  7. ^ Vedral, V. (8 במרץ 2002). "The role of relative entropy in quantum information theory". Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 74 (1): 207. arXiv:quant-ph/0102094. Bibcode:2002RvMP...74..197V. doi:10.1103/revmodphys.74.197. ISSN 0034-6861. ((cite journal)): (עזרה)
  8. ^ Hiai, F.; D., Petz (1991). "The proper formula for relative entropy and its asymptotics in quantum probability". Communications in Mathematics Physics. 143: 99–114. doi:10.1007/BF02100287.


{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
אנטרופיית פון נוימן
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.