For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for אקסיומות ההסתברות.

אקסיומות ההסתברות

בתורת ההסתברות, אקסיומות ההסתברות הן תנאים שאנו דורשים כי פונקציה כלשהי תקיים כדי שנוכל לראות אותה כמתארת הסתברויות. הבנייה המקובלת של תורת ההסתברות, וזו המוצגת בערך זה, מבוססת על אקסיומות קולמוגורוב (על שם המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב שניסח אותן לראשונה), אם כי ישנן אקסיומטיזציות נוספות, דוגמת זו של קוקס. בצורה אינטואיטיבית האקסיומות מנוסחות כך: אחד מכל המאורעות האפשריים חייב להתקיים, וההסתברות שיתרחש מאורע המורכב מכמה מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של המאורעות הללו בנפרד. אלו הן דרישות שנחשבות הגיוניות כאשר מנסים לנסח בצורה פורמלית את הרעיון האינטואיטיבי של הסתברות.

ניסוח פורמלי

יהא מרחב הסתברות. הקבוצה נקראת מרחב המדגם וכמו כן אנו דורשים כי (שדה המאורעות) תהא סיגמא-אלגברה. מהפונקציה אנו דורשים את התכונות הבאות:

  1. לכל מתקיים . דרישה זו נובעת מכך שאנו תופסים הסתברות של מאורע בתור מספר ממשי בין ל-, ומצפים שלכל מאורע שמעניין אותנו (כלומר, ששייך לסיגמא-אלגברה) תהיה הסתברות מוגדרת וקבועה.
  2. . דרישה זו נובעת מכך שאנו מצפים שלפחות אחד מהאירועים הבסיסיים שבמרחב המדגם יתקיים תמיד, בכל ניסוי שנערוך.
  3. לכל סדרה של מאורעות שאיבריה מקיימים לכל (כלומר זרים בזוגות) מתקיים . תכונה זו מכונה סיגמא-אדיטיביות ופירושה שבהינתן אוסף בן מנייה של מאורעות זרים, ההסתברות של איחודם (כלומר, ההסתברות שיתרחש אחד מהאירועים הבסיסיים שבהם) שווה לסכום של ההסתברויות שלהם בנפרד.
  • בקצרה אפשר לנסח זאת כך: היא פונקציית מידה. מידה זו נקראת "מידת הסתברות" (Probability Measure).

תוצאות הנובעות מהאקסיומות

מהאקסיומות הללו נובעות מספר תוצאות שימושיות. רובן הן תכונות כלליות של פונקציית מידה ואפשר למצוא פירוט עליהן בערך על תורת המידה, אך חלקן ייחודיות להסתברות.

  • הסתברות של מאורע משלים: תוצאה מיידית מהאקסיומות היא שעבור מאורע כלשהו מתקיים . כלומר, ההסתברות שהמאורע לא יתקיים (ולכן משלימו ביחס ל- יתקיים) שווה פחות ההסתברות שהוא כן יתקיים. כדי להיווכח בתכונה זו די לראות כי ולכן על פי האקסיומות השנייה והשלישית נקבל . מכאן נובע ש-.
  • מונוטוניות: אם מאורעות, אז . אכן, ניתן לרשום ומכיוון שזהו איחוד זר לקבל כי .
  • תוצאה שימושית היא . תוצאה זו ניתן לראות כאשר שמים לב כי וזהו איחוד זר.
  • תוצאה נוספת מהאקסיומות היא שלכל שני מאורעות (לא בהכרח זרים) יתקיים . תוצאה זו היא מקרה פרטי של "עקרון ההכלה וההפרדה".
כדי לראות תכונה זו נשים לב כי וזהו איחוד זר.
כעת נקבל: ומכאן קיבלנו את התוצאה.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
אקסיומות ההסתברות
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.