דואליות פונטריאגין
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, ובאופן ספציפי יותר בתחומים של אנליזה הרמונית וחבורות טופולוגיות, החבורה הדואלית (The dual group/Pontryagin Dual) היא אובייקט, המוגדר ביחס לחבורה טופולוגית נתונה, אך מופיעה בעיקר בהקשר של חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית (הגדרה בהמשך). המילה "דואלית" מציינת את ההתאמה בין האובייקט הנתון לאובייקט החדש המוגדר.
ערך ללא מקורות | |
יש לערוך ערך זה. הסיבה היא: נדרשת ויקיזציה. | |
החבורה הדואלית של חבורה טופולוגית נתונה היא חבורת כל הפונקציות מ- למעגל היחידה, אשר שומרות על המבנה של כחבורה וכמרחב טופולוגי. כלומר, כל פונקציה כזאת היא הומומורפיזם של חבורות ורציפה. פונקציות אלה מכונות קרקטרים.
אנלוגיה טובה למושג הדואליות היא בהקשר של מרחבים וקטוריים: עבור מרחב וקטורי , המרחב הדואלי הוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על . גם כאן האובייקט הדואלי הוא תת-קבוצה של מרחב פונקציות על האובייקט הנתון, במקרה הזה הטווח של הפונקציות הוא השדה שמעליו מוגדר . יתר על כן, הפונקציות הן משמרות-מבנה בהקשר של מרחבים וקטוריים, כלומר העתקות ליניאריות. בנוסף, המרחב הדואלי הוא אובייקט "מאותו הסוג" כלומר מרחב וקטורי.
החבורה הדואלית נקראת בנוסף "דואל פונטריאגין" (Pontryagin Dual) על-שם המתמטיקאי לב פונטריאגין (Lev Pontryagin) שייסד את התאוריה על חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית ועל הדואליות ביניהן, בעבודתו בשנת 1934.
באמצעות החבורה הדואלית ניתן להכליל את ההגדרה של התמרת פורייה עבור פונקציות/מידות על חבורה אבלית קומפקטית-מקומית כללית.