For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for הכללה (מתמטיקה).

הכללה (מתמטיקה)

הכללה היא מאבני היסוד של הפעילות המתמטית. הכללה פירושה לקיחת עצם מתמטי מסוים, ומעבר ממנו לעצם כללי יותר, שהעצם שממנו יצאנו מהווה מקרה פרטי שלו.

מושג B מהווה הכללה של מושג A כאשר:

  • כל מופע של המושג A הוא גם מופע של המושג B.
  • יש מופע של המושג B שאינו מופע של המושג A.

יתרונה הבולט של ההכללה היא בכך שהיא עוברת מהדיון במושג הפרטי, המצומצם, למושג כללי, ובכך מאפשרת את יישומו של הידע שנצבר אודות המושג המצומצם בעולם המקיף יותר שבו חל המושג הכללי. בנוסף, ההתעסקות ב"תמונה הגדולה" מאפשרת לעיתים לגלות מידע חדש על המושג הפרטי, שעד אז היה קשה להבחין בו בשל ריבוי הפרטים הלא רלוונטיים.

דוגמאות

דוגמה מפורטת

נתחיל מטענה פשוטה אודות מספרים ונכליל אותה:

  • 6 מתחלק ב-3.

זו טענה פשוטה וידועה לכל. ניתן להכליל אותה לטענה הבאה:

  • לכל מספר טבעי a מתקיים שהמספר מתחלק ב-3.

טענה זו נכונה משום ש-. זוהי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ולכן בהכרח אחד מהם מתחלק ב-3, ולכן כך גם המכפלה כולה. אם נציב a=2 נקבל את הטענה ש-6 מתחלק ב-3, ממנה התחלנו.

משפט זה מכליל את הטענה הקודמת שמתקבלת מהמשפט כאשר מציבים p=3.

  • משפט אוילר: לכל n טבעי ולכל a טבעי זר ל-n, מתקיים ש- מתחלק ב-n ( היא פונקציית אוילר, ששווה למספר המספרים הזרים ל-n וקטנים ממנו).

משפט אוילר מכליל את המשפט הקטן של פרמה. שכן אם ניקח את n להיות ראשוני p, אז , ונקבל מתחלק ב-p. לאחר כפל ב-a מתקבל הנוסח המוכר של המשפט הקטן של פרמה.

עד כה עסקנו במספרים טבעיים. אך ההכללה הבאה תחשוף את הטבע האמיתי של הטענות שעסקנו בהן, שיש להן משמעות אלגברית עמוקה.

טענה זו מכלילה את משפט אוילר, משום שקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים וזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n (הקרויה חבורת אוילר), שהסדר שלה הוא ואיבר היחידה שלה הוא 1.

הטענה האחרונה היא מקרה פרטי של טענה מרכזית בתורת החבורות:

הטענה הקודמת נובעת ממשפט לגראנז' אם ניקח את התת-חבורה הציקלית הנוצרת על ידי האיבר g.

על אף שכל טענה כאן חזקה יותר מזו הקודמת לה, רמת הקושי בהוכחתן אינה עולה משמעותית, ולמעשה ההוכחה של ארבע הטענות האחרונות כמעט זהה. החוכמה בהכללה היא להבין אילו תכונות של העצמים בהם עוסקים חשובות, ואילו רק מפריעות לראות את העיקר. במקרה הזה העיסוק במספרים דווקא (על כל התורה העשירה שהם מגלמים) לא היה נחוץ, וההבנה הזו היא שאפשרה להוכיח תוצאה כללית בהרבה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
הכללה (מתמטיקה)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.