רדיקל (תורת החוגים)
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בתורת החוגים, הרדיקל של חוג הוא אידיאל מיוחד, המכיל בתוכו את כל האידיאלים ה"בעייתיים" של החוג. הרדיקל שווה לאפס בדיוק כאשר החוג נקי מן הבעיות שהרדיקל אמור למדוד. לרדיקלים השונים יש תפקיד מרכזי בארגז הכלים של חוקר החוגים והמודולים.
הרדיקל של חוג מוגדר תמיד ביחס למשפחה מסוימת של חוגים או אידיאלים: אם היא משפחה של חוגים הכוללת עם כל חוג גם את חוגי המנה שלו, אידיאל בעל התכונה נקרא -רדיקל של החוג , אם הוא מכיל כל אידיאל בעל התכונה הזו, ובחוג המנה אין אידיאלים לא-טריוויאליים בעלי התכונה. הרדיקל ביחס למשפחה נתונה אינו בהכרח קיים בכל חוג, ולכן אחד הצעדים הראשונים בבניה מועילה של רדיקל צריכה להיות אפיון החוגים שבהם הוא קיים. בהכללה אפשר לומר שהרדיקל שימושי ומועיל יותר ככל שהוא מוגדר עבור חוגים כלליים יותר.
את הרדיקל אפשר להגדיר כאידיאל הגדול ביותר השייך למשפחה מסוימת, כחיתוך כל האידיאלים מסוג מסוים, וכדומה. פעמים רבות, כמו ברדיקל של ג'ייקובסון מתלכדות כמה הגדרות לכלי רב עוצמה יחיד. במקרה היסודי של אלגברות אסוציאטיביות מממד סופי, כל הרדיקלים החשובים שווים זה לזה.