השערת פואנקרה - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for השערת פואנקרה.

השערת פואנקרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה זקוק לעריכה: הסיבה לכך היא: עלול להכיל שגעות כתיב רבות. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה. עריכה
אנרי פואנקרה - Henri Poincaré, 1854 – 1912
אנרי פואנקרה - Henri Poincaré, 1854 – 1912
גריגורי פרלמן (Григорий Перельман) נולד ב-1966. מוכיח השערת פואנקרה.
גריגורי פרלמן (Григорий Перельман) נולד ב-1966. מוכיח השערת פואנקרה.
איור המדגים שהספירה הדו-ממדית פשוטת קשר. באופן דומה גם הספירה התלת-ממדית פשוטת קשר. הספרה היא גם יריעה (ללא שפה) קשירה וקומפקטית. השארת פואנקרה אומרת שכל ירעה (תלת-ממדית) כזאת היא בעצם הספירה.
איור המדגים שהספירה הדו-ממדית פשוטת קשר. באופן דומה גם הספירה התלת-ממדית פשוטת קשר. הספרה היא גם יריעה (ללא שפה) קשירה וקומפקטית. השארת פואנקרה אומרת שכל ירעה (תלת-ממדית) כזאת היא בעצם הספירה.

במתמטיקה, השערת פואנקרה היא משפט המאפיין את הספירה התלת-ממדית מבין כל היריעות מאותו ממד. ההשערה, שהציע אנרי פואנקרה בשנת 1904, נחשבה במשך שנים לאחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר בטופולוגיה. ההשערה קובעת:

נניח שיריעה טופולוגית תלת-ממדית היא סגורה (כלומר קומפקטית וללא שפה), ופשוטת קשר. אזי היריעה הומיאומורפית (זאת אומרת שקולה מנקודת מבט טופולוגית) לספירה התלת-ממדית.

במהלך המאה ה-20 עמלו מתמטיקאים רבים על השערה זאת ועל גרסא רב מימדית שלה. הניסיונת להוכיח את ההשארה הובילו לתוצאות רבות וחשובות בטופולוגיה אלגברית, וזיכו מספר מתמתיקאים במדלית פילדס. בין היתר, בשנת 1961 הוכחה גרסא של ההשערה עבור ממדים גבוהים מ-4 ע"י סטפן סמייל, ובשנת 1982 הוכחה גרסא 4-ממדית של ההשערה ע"י מיקל פרידמן.

בשנת 2000 ההשערה נבחרה על ידי מכון קליי כאחת משבע בעיות המילניום,[1] שעבור פתרון מלא של אחת מהן מציע המכון פרס כספי בסך מיליון דולר.

בסדרה של מאמרים שכתב בשנים 2002 ו-2003, הציג המתמטיקאי גריגורי פרלמן את קווי המתאר של הוכחה להשערה. ההוכחה לא הייתה שלמה, ומתמטיקאים רבים בעולם החלו ללמוד את הרעיונות החדשים ולהשלים את הפרטים החסרים. עד אמצע 2006 התגבשה הסכמה שהוכחתו של פרלמן הביאה את הבעיה אל סיומה, והוא נבחר לקבל את מדליית פילדס, אך דחה אותה.

ב-18 במרץ 2010 הכריז מכון קליי על זכאותו של פרלמן לפרס,[2] אך פרלמן סירב לקבלו. בספטמבר 2011 החליט המכון לתרום את הסכום כמלגות.

יריעות

אחת הבעיות השכיחות בטופולוגיה היא מחקר של מרחבים, אשר נראים במרחקים קצרים כמרחב אוקלידי. פני כדור הארץ הם דוגמה למרחב כזה: בעוד שבמרחקים קצרים פני כדור הארץ נראים כמישור אך בכללותום הם מהווים ספרה.

דוגמה נוספת היא מבנה היקום על פי תורת היחסות הכללית. במרחקים קצרים תורת היחסות הכללית מתלכדת עם תורת היחסות הפרטית לפיה מבנה היקום (כלל מימד הזמן) הוא מרחב -ממדי "שטוח" (מקביל בתחונתיו למרחב אוקלידי תלת ממדי). אולם מבנה היקום בכללותו מסובך בהרבה

כדוגמה נוספת, אפשר לתאר נמלה המשוטטת על מעטפת של בלון. בהנחה שתמונת העולם של הנמלה היא דו-ממדית ומקומית, היא אינה יכולה לדעת האם העולם שלה הוא אכן בצורת פני כדור, או שאולי מדובר במישור המתמשך לאינסוף, או בבקבוק קליין. מרחבים כאלה, שבאופן מקומי נראים כמרחב אוקלידי בעל ממד קבוע, נקראים בטופולוגיה יריעות.

נשים לב שכשחוקרים ירעות מבחינה טופולוגית, אין משמעות כמותית למושג מרחק אלה אנו מתענינים רק בתחונות של היריעה שנישמרות תחת מתיחות וקיבוצים. לדוגמה, מבחינה טופולוגית, אין הבלון משתנה אם מנפחים אותו, או מעוותים את צורתו, למעשה הוא שקול מבחינה טופולוגית לפני כדור הארץ.

בשם "הספירה התלת-ממדית" (3-sphere) מתכוונים לשפתו התלת-ממדית של כדור במרחב האוקלידי הארבע-ממדי, כלומר לקבוצה מהצורה . באופן דומה, "הספירה הדו-ממדית" היא שטח הפנים של כדור תלת-ממדי, כגון פני כדור הארץ, ו"הספירה החד-ממדית" היא מעגל. הראשונה היא יריעה דו-ממדית, והשנייה, יריעה חד-ממדית.

באופן פורמאלי ניתן להגדיר יריעה בצורה הבאה: קבוצה במרחב האוקלידי מהווה יריעה (ללא ספה) מממד אם לכל נקודה קיים כדור פתוח סביבה כך ש החיתוך הומיאומורפי למרחב האוקלידי , זאת אומרת שקימת פונקציה רציפה חד-חד ערכית ועל .כך שההעתקה ההופחית של גם היא רציפה.

הקבוצה נקראת קומפקטית עם היא סגורה וחסומה.

ניסוח ההשארה וגרסאותיה

ירעה נקראת קשירה (מסילתית) אם כל שתי נקודות ב ניתן לחבר בעקום. היריעה נקראת פשוטת קשר אם כל עקום סגור ב- אפשר לכווץ, זאת אומרת להקטין אותו באופן הדרגתי (מבלי שאף חלק ממנו יצה מ-) עד אשר יהפוך לנקודה. באופן פורמלי יותר. העקום הוא העתקה רציפה ממעגל ל . לכווץ את העקום זה להרחיב העתקה זאת להעתקה רציפה מעיגול ל-. כאמור, השארת פואנקרה טוענת:

כל יריעה תלת-ממדית (ללא שפה) קומפקטית, קשירה ופשוטת קשר הומיאומורפית לספרה התלת ממדית.

להשערת פואנקרה יש הכללה לירעות מממד כלשהו. הכללה זאת נקראת השערת פואנקרה המוכללת (אנ'). ולעיתים גם סתם השערת פואנקרה. להכללה זאת מספר ניסוחים שקולים. אחד מהם מבוסס על מושג השקילות ההומוטופית. באופן אינטויטיבי שני מרחבים טופולוגיים ו- שקולים הומוטופית, אם כל אוביקט שניתן לכיווץ ב- ניתן גם לכיווץ ב-. באופן יותר פורמלי שקילות הומוטופית היא העתקה רציפה כך שקימת העתקה רציפה כך שההרכבות ו- הומוטופיות להעתקות הזהות (על המרחבים ו- בהתאמה). זאת אמרת שניתן לשנות את ו- באופן הדרגתי עד שיהפכו להעתקת הזהות.

כעת ניתן לנסח את השארת פואנקרה המוכללת כך:

כל יריעה מממד (ללא שפה) קומפקטית, השקולה הומוטופית לספרה -ממדית גם הומיאומורפית לספרה זאת.

על פניו השארה זאת למקרה נראת חלשה יותר מהשערת פואנקרה. בעוד שברור שכל מרחב טופולוגי ששקול הומוטופית לספרה (מממד גדול מ-1) הוא פשוט קשר, ההפך אינו נכון באופן כללי. הטענה הבאה סוגרת פער זה:

טענה: אם יריעה טופולוגית -מממדית (ללא שפה) קומפקטית קשירה ופשוטת קשר כך שלכל חבורות ההומולוגיה מתאפסת אז שקולה הומוטופית לספרה -ממדית.

הוכחה
מכך ש- פשוטת קשר נובעה שהיא אורינטבילית. כמו כן זה גם גורר ש . לכן, לפי דואליות פואנקרה, תנאי הטענה גוררים שכל חבורות ההומולגיה של מתאפסות, פרט ל ו- האיזומורפיות ל-. לפי משפט הורביץ עובדה זאת יחד עם פשיטות הקשר של גוררת שחבורות ההומוטופיה

טריביאליות לכל וש . נבחר נציג של יוצר של . נקבל ש- משרה איזומורפיזם על כל חבורות ההומולוגיה וגם על החבורה היסודית. לפי משפט הורביץ זה גורר ש- משרה איזומורפיזם על כל חבורות ההומוטופיה. לכן לפי משפט וויטהד היא שקילות הומוטופית.

טענה זאת מספקת מספר נסוחים שקולים להשארת פואנקרה המוכללת. למשל במקום לדרוש ש- שקול הומוטופית לספרה די לדרוש ש- פשוט קשר ושחבורות ההומולוגיה שלה איזומורפיות לאלה של הספרה.

התפתחות ההשערה והוכחתה

המקרה החד-ממדי

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – עקומה

יריעות חד ממדיות נקראות עקומים. עקומים לא מהום מוקד עינין בטופולוגיה גאומטרית ואלגברית. מיונם פשוט למדי. בפרט העקום הקומפקטי הקשיר היחיד (עד כדי הומיאמורפיזם) הוא מעגל. בתקופתו של פואנקרה, לפני שמוסג היריעה הוגדר באופן פורמלי, עובדה זו לא נחשבה לטענה שדורשת הוכחה, ולכן גם המקרה החד-ממדי של השארת פואנקרה נחשב לטריביאלי. בתחילת המאה ה-20, כאשר מושג היריעה הוגדר פורמלית, גם מיונו כל העקומים ובהתאם הגרסא החד-ממדית של השארת פואנקרה לעולם לא היותה מוקד עינין.

המקרה הדו-ממדי

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משטח (טופולוגיה)
ברנהרד רימן מאבות הגיאומטריה המודרנית. מיין משטחים בהקשר גאומטריים. המיון דומה למיון הטופולוגי
ברנהרד רימן מאבות הגיאומטריה המודרנית. מיין משטחים בהקשר גאומטריים. המיון דומה למיון הטופולוגי

ירעות דו-ממדיות נקראות משטחים. מיון של משטחים קומפקטיים התבצעה במהלך המאה ה-19 על-ידי רימן ופואנקרה [3]. פואנקרה, שהיה מהאבות המיסדים של הטופולוגיה האלגברית פתח את מושג ההומולוגיה - אחד הכלים הראשונים שפותחו במסגרת הטופולוגיה האלגברית. תורת ההומולוגיה מצמידה לכל מרחב טופולוגי סדרה של חבורות אבליות הנקראות חבורת ההומולוגיה שלה.[4] למרחבים הומיאומורפיים יש חבורות הומולוגיה איזומורפיות. פואנקרה חשב את חבורת ההומולוגיה של כל המשטחים הקומפקטיים וגילה שההפך גם נכון: אם חבורות ההומולוגיה של שני משטחים איזומורפיות אז המשטחים הומיומורפיים. עובדה זאת מוכיחה כמובן את הגירסה הדו-ממדית של השארת פואנקרה.


משטחים סגורים אוריינטבילים. מגנוסים 0 עד 3. השניים הראשונים הם ספירה וטורוס. המיון של משטחים סגורים ואוריינטבילים ממשיך באופן דומה. יש גם סידרה מקבילה של משטחים סגורים לא אוריינטבילים.

המקרה התלת-ממדי - ניסוח ההשארה

אנרי פואנקרה - מאבות הטופולוגיה האלגברית, מיין משטחים טופולוגיים ונסח את ההשערה
אנרי פואנקרה - מאבות הטופולוגיה האלגברית, מיין משטחים טופולוגיים ונסח את ההשערה

פואנקרה תהה אילו תכונות מטופולוגיה אלגברית דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית. פואנקרה חשב בתחילה, שכמו במקרה הדו-ממדי, די בחבורות ההומולוגיה של הספרה כדי לתאר אותה, דהיינו, שגוף תלת-ממדי שיש לו אותה הומולוגיה כמו לספירה, מוכרח להיות ספירה בעצמו, והוא אף העלה טענה זו על הכתב ב-1900. כמה שנים אחר-כך, ב-1904, מצא פואנקרה דוגמה נגדית להשערה זו: הוא גילה מרחב (הקרוי ספירת פואנקרה), שיש לו ההומולוגיה של ספירה, אך הם אינם שקולים זה לזה.

בטופולוגיה האלגברית ידועה שיטה נוספת, שהיא במובנים מסוימים עדינה יותר מן ההומולוגיה. התבוננות בלולאות העוברות במרחב נתון מאפשרת להצמיד לו חבורה נוספת, הקרויה החבורה היסודית, שאינה חייבת להיות אבלית. חבורה זו היא טריוויאלית (כלומר, יש בה רק איבר אחד), אם כל לולאה סגורה העוברת במרחב אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מגבולות המרחב. מרחב שיש לו תכונה זו נקרא מרחב פשוט קשר. הספירה היא פשוטת קשר, בעוד שלספירת פואנקרה יש חבורה יסודית מסדר 120 ולכן הם אינם יכולים להיות הומיאומורפיים זה לזה.

בעקבות הבחנה זו, העלה פואנקרה את ההשערה שבמידה וליריעה תלת-ממדית סגורה יש אותה חבורה יסודית כמו לספירה, אזי היא הומיאומורפית אליה.

המעבר לממד כללי

בתחילת המאה ה-20 תחום הטופולוגיה בכלל והטופולגיה האלגברית והגאומטרית בפרט התפתח רבות. כלל התוצאות בתחומים עלה לא היו מוגבלות לממד מסוים, בהתאם נראה זה טבעי לחקור את השערת פואנקרה עבור כל ממד. במקרה הרב ממדי, לא כל הירעות הקומפקטיות (ללא שפה) פשוטות הקשר שקולות הומוטופית לספרה. לכן הן גם לא יכולות להיות הומיאומורפיות לה. אולם אם מניכים בנוסף שחבורת ההומולוגיה של היריעה זהות לאלה של הספרה, אז היא כבר חיבת להיות שקולה הומוטופית לספרה. השארת פואנקרה המוכללת אומרת שכל יריעה (קומפקטית בלי ספה) אשר שקולה הומוטופית לספרה גם הומיאומורפית לה.

פתוח תורת הקו-בורדיזם

דוגמה לקו-בורדיזם בין שני עקומים: משמאל איחוד זר של 2 מעגלים, מימין מעגל 1. קובורדיזם זה נקרא זוג מחנסיים
דוגמה לקו-בורדיזם בין שני עקומים: משמאל איחוד זר של 2 מעגלים, מימין מעגל 1. קובורדיזם זה נקרא זוג מחנסיים
רנה תום, מאבות תורת הקו-בורדיזם. מיין את כל היריעות עד כדי קו-בורדיזם
רנה תום, מאבות תורת הקו-בורדיזם. מיין את כל היריעות עד כדי קו-בורדיזם

בתחילת שנות ה-50 עסק המתמטיקאי רנה תום בתורת הקו-בורדיזם (שיסודותיה הונחו ע"י פנטרגין). תורה זאת חוקר יריעות עד כדי יחס שקילות חלש יותר מהומיאומורפיזם הנקרה קו-בורדיזם. יש מספר גרסאות למושג קו-בורדיזם. באופן אינטויטיבי, קו-בורדיזם בן שתי ירעות (קומפקטיות בלי שפה) ו- ממד הוא דרך לחבר בניהן על ידי יריעה ממד . באופן פורמלי יותר, על פי אחת הגרסאות, קו-בורדיזם בין ו- הוא יריעה (קומפקטית עם שפה) כך ששפתה מורכבת מהאיחוד הזר של ו-. תום הראה שאוסף כל הירעות ממד מסוים עד כדי קו-בורדיזם מהווה חבורה. הוא גם תאר חבורה זאת (במובן מסוים). בין היתר הראה תום שיריעה שמקיימת את התנאים של השארת פואנקרה המוכללת קובורדנטית לספרה (מאותו ממד). חלק גדול ממהתקדמות בהשארת פואנקרה המוכללת, לרבות הוכחתה לממדים גדולים מ-3 מובוססת על טענה זאת.

עבודותיו של תום על תורת הקו-בורדיזם זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1958.

גלוי הספירות האקזוטיות

ג'ון מילנור, גילה את הספרות האקזוטיות בעת שניסה להכריעה את ההשערה
ג'ון מילנור, גילה את הספרות האקזוטיות בעת שניסה להכריעה את ההשערה

באמצע שנות ה-50 המתמטיקאי ג'ון מילנור עבד על ההשערה. בהתבסס על עבודותיהם של תום ופונטריאגין הוא הצליח לבנות אינווריאנט של יריעות חלקות המקיימות את תנאי ההשערה. זאת אומרת, שהוא התאים לכל יריעה חלקה כזאת אובייקט מסוים, כך שאם שתי יריעות כאלה דיפיאומורפיות (זאת אומרת שקיימת העתקה גזירה חד-חד ערכית ועל בינהם שההעתקה הופכית לה גם-כן גזירה) אז האובייקטים המתאימים לשתיהן שווים. הוא הצליח לבנות דוגמה ליריעה חלקה 7-ממדית (שמקימת את תנאי ההשערה) שאינבריאנט זה עבורה שונה מאשר ערכו עבור הספירה ה-7 ממדית. בכך הוא הוכיח שיריעה זאת אינה דיפיאומורפית לספירה ה-7 ממדית. תחילה חשב מילנור שהוא הפריך את השערת פואנקרה המוכללת. אולם במהרה הבין כי למעשה היריעה שבנה דווקה הומיומורפית לספרה (הוא הוכיח זאת ע"י תורת מורס), אבל לא דיפיאומורפית לה. זאת היתה הדוגמה הראשונה ליריעות הומיאומורפית אך לא דיפייאומורפיות. דוגמה זאת הפתיע מאוד את מילנור והקהילה המתמטית, מכיוון שעד אותו שלב כולם האמינו שדוגמה כזאת לא קיימת.

מאז יריעות ההומיאומורפיות לספרה אך לא דיפיאומורפיות לה נקראת ספרות אקזוטיות. באופן כללי יותר, יריעות חלקות הומיומורפיות ליריעה חלקה נתונה אך לא דיפיאומורפיות לה נקראות מיבנים אקזוטיים על . מילנור יחד עם שותפים מיינו את כל ספרות אקזותיות מכל ממד למעט 4.

גילוי הספרות האקזוטיות זיכה את מילנור במדלית פילדס בשנת 1962.

ההוכחה למקרה שהממד גדול מ-4

סטפאן סמייל, הוכיח את ההשערה עבור ממדים הגבוהים מ-4
סטפאן סמייל, הוכיח את ההשערה עבור ממדים הגבוהים מ-4

בשנת 1961 הוכיח סטפן סמייל את השערת פואנקרה המוכללת עבור ממדים גדולים מ-4. בשנת 1962 הכליל סמייל תוצאה זאת למשפט שאומר, קיום קו-בורדיזם בין יריעות שממדם גדול מ-4 המקיים תנאים מסוימים, גורר קייום הומיאומורפיזם בין ירעות אלה. קו-בורדיזם שמקיים תנאים אלו נקרא -קו-בורדיזם, ומשפטו של סמייל אודור קו-בורדיזמים אלו נקרא משפט ה-h-קובורדיזם.

ליתר דיוק, הוכחתו של סמייל היתה תקפה רק ליריעות חלקות (כמו גם ליריעות ליניאריות למקוטעין). לא על כל יריעה טופולוגית קיים מבנה חלק, כך שהוכחה לא עובדת בשביל כל היריעות הטופולוגיות. בשנת 1966 השלם מקס ניומן את ההוכחה עבור יריעות טופולוגיות כלליות ממדים גדולים מ-4.[5]

באופן שיטחי ולא מדויק ניתן לתאר את הוכתו של סמייל להשארה כך: תחילה משתמשים במשפט תום כדי להראות שיריעה -ממדית המקיימת את תנאי ההשערה מהווה ספה שי יריעה (עם שפה) קומפקטית . לאחר מכן מבצעים סדרה סופית של פעולות ה"משפרת" את . לבסוף מוכיחים שלאחר מספיק פעולות הופכת לכדור -ממדי. מכאן ש- חיובת להיות הספרה.

בממד נמוך מ-4 "אין מספיק מקום" כדי לבצעה פעולות אלה. בממד-4 אומנם ניתן לבצעם אך הן לא "משפרות את המצב".

הוכחתו זו, זכתה את סמייל במדילת פילדס בשנת 1966.

ההוכחה לממד-4

מיקל פרידמן, הוכיח את ההשערה עבור ממד 4
מיקל פרידמן, הוכיח את ההשערה עבור ממד 4

בשנת 1982 הצליח מייקל פרידמן להכליל את תוצאתיו של סמייל למקרה ה-4-ממדי. הוא סיפק גרסא 4-ממדית של משפט ה-h-קו-בורדיזם והוכיח את השארת פואקרה המוכללת עבור ממד 4. יתר על כן, הוא סיפק מייון מלא של כל הירעות ה-4-ממדיות הקופקטיות פשוטות הקשר.

באופן אינטויטיבי, הוכחתו התבססה על בניה אינסופית בה מבצעים את התהליך שביצעה סמייל אינסוף פעמים ומראים שאז הוא באמת "משפר את המצב".

על הוכחת השערת פואנקרה בממד 4 קיבל פרידמן מדלית פילדס בשנת 1986.

מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות

תצאותיו של פרידמן, בשילוב עם תוצאות של דונדסון על אינבריאנטים של ירעות חלקות 4-ממדיות הובילו למציאת דוגמאות של מבנים אקזוטיום על יריעות 4-ממדיות (דבר שלא היה ידוע קודם). בפרט נמצאו מבנים אקזוטיים על המרחב האוקלידי ה-4-ממדי . מרחב זה הוא המרחב האוקלידי היחיד בעל מבנים אקזוטיים. שאלת קיומם של מיבנים אקזוטיים על הספרה ה-4-ממדית עודנה פתוחה.

על מציאת מבנים אקזוטיים על קיבל דונלדסון מדלית פילדס בשנת 1986.

ניסוח השערת הגיאומטריזציה

ויליאם ת'ורסטון, ניסח את השערת הגאומטריזציה  ממנה נובעת השערת פואנקרה
ויליאם ת'ורסטון, ניסח את השערת הגאומטריזציה ממנה נובעת השערת פואנקרה

בשנת 1982 ניסח ויליאם ת'ורסטון המספקת מיון (חלקי) ליריעות תלת-ממדיות קומפקטיות. באופן לא פורמלי, ההשערה טוענת שכל יריעה כזאת ניתן "להרכיב" מאבני בינין פשוטות יחסית הנקראות גאמטריות.

אבני בינין אלה הן יריעות עליהן קויימת מטריקה רימנית (מושג כמותי של מרחק) מאוד סימטרית. באופן פורמלי יותר: כך שלכל על היריעה קיימת איזומטריה של (זאת אומרת טרנספורמציה מ- לעצמו השומרת מרחק), המעבירה את ל-.

קל יחסית למיין את כל הגאומטריות. בהתאם גם לא מאוד קשה (בהשתמש בכלים סטנדרטיים שהיו קיימים באותה עת) להסיק את השארת פואנקרה מהשארת הגאומטריזציה. טרם ניסוח השערת הגאומטריזציה באופן כללי הוכיח אותה ת'ורסטון למשפחה רחבה של יריעות תלת-ממדיות.

עבודותיו של ת'ורסטון על יריעות ממד נמוך זיכו אותו במדלית פילדס בשנת 1982.

פיתוחה של זרימת המילטון-ריצ'י

ריצ'רד המילטון, פיתח את זרימת המילטון-ריצ'י והגה אסטרטגיה להוכחת השערת פואנקרה המבוססת על זרימה זאת.
ריצ'רד המילטון, פיתח את זרימת המילטון-ריצ'י והגה אסטרטגיה להוכחת השערת פואנקרה המבוססת על זרימה זאת.

בשנת 1982 הוכיח ריצ'רד המילטון את "משפט הספרה". משפט זה אומר שיריעה רימנית (זאת אומרת יריעה חלקה עם מטריקה רימנית עליה) המקיימת תנאים מסוימים, היא דיפיאומורפית לספרה מממד מתאים. לשם כך הוא פיתח זרימה גאומטרית אותה כינה זרימת ריצ'י (היום היא מכונה לעיתים גם זרימת המילטון-ריצ'י). זרימה גאומטרית היא דרך לשנות את הגאומטריה של אובייקט מסוים באופן רציף והדרגתי. זרימת המילטון-ריצ'י משנה את המטריקה הרימנית על היריעה (מבל לשנות את היריעה עצמה) ע"י הוספה של עקמומית ריצ'י שלה (עם מקדם) למטריקה. תהליך זה הופך את היריעה לסימטרית יותר. המילטון הוכיח שבתנאי המשפט היריעה תהפוך בסופו של דבר לספרה מבחינה מטרית, ומכיוון שהזרימה אינה משנה את המבנה הטופולוגי, זו ראיה לכך שמלכתחילה היתה דיפיאומורפית לספרה.

זרימת המילטון-ריצ'י מוגדרת ע"י מערכת משוואת דפרנציאליות חלקיות. הזרימה מהווה פתרון למערכת הזאת. מערכת משוואות זאת דומה למשוואת החום אלה שבימקום לפזר חום היא "מפזרת" עקמומיות. מיסבה זאת המטריקה הופכת ליותר סימטרית לאורך הזרימה. כפי שקורה במקרים רבים עם מד"ח לירעות רימניות כלליות למערכת משוואות זאת אין פיתרון המתקיים לאורך זמן, לכן זרימת ריצ'י "נתקעת" לאחר זמן מה.

בסוף שנות ה-80 הגה המילטון אסטרטגיה להוכחת השארת הגאמטריזציה המבוססת על זרימת ריצ'י. תחילה בוחרים מבנה של יריעה חלקה על היריעה הנתונה . קיום (ויחידות) של מבנה כזה היה ידועה עוד בשנות ה-50. לאחר מכן בחרים מטריקה רימנית כלשהיא על . כל להוכיח קיום של מטריקה רימנית על כל יריעה חלקה. אז מפעילים את זרימת ריצ'י על הריעה אד אשר היא "תיתקע". קצת לפני שהיא נתקעת "חותחים" את היריעה באופן שיאפשר לזרימה להמשיך על כל אחד מהחלקים בנפרד (תוך כדי התאמת המקדם בזרימה לכל חלק בניפרד). ממשיכים בתהליך עד אשר כל אחד מהחלקים מגיעה למצב קבוע. המילטון הראה שמצבים אלו הן בידיוק הגאומטריות. כעת נותר רק "להרכיב" את היריעה בחזרה מגאומטריות אלה.

בתחילת שנות ה-90 ניסה המילטון לממש אסטרטגיה זאת, ואף הצליח בכך במספר רב של מקרים. אך בסופו של דבר נקלע למבוי סתום ולא הצליח להוכיח את ההשערה.

הכלת הבעיה בפרס המילניום של קליי

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – פרס המילניום של קליי

בשנת 2000 פרסם מכון קליי רשימה של 7 בעיות במתמטיקה לכבוד תחילת המילניום השלישי. מכון קליי הבטיח פרס בסכום של מיליון דולר על פתרון כל אחת מהבעיות. הבעיות נגעו לתחומים הבאים: פיזיקה מתמטית, תורת המספרים (האנליטית והאלגברית), תיאוריה של מדעי המחשב, גאומטריה אלגברית וטופולוגיה אלגברית וגאומטרית. השערת פואנקרה היתה הבעיה השישית ברשימה זאת. היא היתה הבעיה היחידה שניתן לשיך לתחומי הטופולוגיה האלגברית והגאומטרית באופן מבהק. לצידה היתה גם השארת הודג' שנמצאת על התפר שבין גאומטריה אלגברית לטופולוגיה אלגברית.

את נוסח ההשערה הרישמי כתב ג'ון מילנור.

הוכחת ההשערה

גריגורי פרלמן הוכיח את ההשערה.
גריגורי פרלמן הוכיח את ההשערה.

מתחילת שנות ה-90 עבד גריגורי פרלמן על מרחבי אלכסנדרוב. מרחבים מטריים אלה מהווים גבולות של יריעות רימניות. בשנת 1992 נסע פרלמן לארה"ב למספר שנים. בתקופה זאת הוא שמע הרצאה של ריצ'רד המילטון. לאחר ההרצאה פרלמן שוחח עם המילטון ארוכות. בשיחה זאת סיפר לו המילטון את כל ההתקדמות שהיתלה לו בהוכחת השערת פואנקרה.[6].זמן מה לאחר מכן, לאחר שראה פרלמן פרסום של המילטון ב-Arxiv, פנה פרלמן אל המלטון והציעה לו לשתף פעולה בנסיון להוכיח את ההשערה. פרלמן חשב שבעזרת מרחבי אלכסנדרוב יכל להתקדם אפוה שהמילטון נעצר. לאחר שהמלטון לא ענה להצעה זאת,[7] חזר פרלמן לרוסיה (למכון סטקלוב בסנט-פטרסבורג) לעבוד על ההשערה בגפו. פרלמן עמל על ההשערה כ-7 שנים ולבסוף בשנים 2002-2003 פרסם פרלמן בסדרה של 3 מאמרים ב-Arxiv את עיקרי הוכחתו להשערת פואנקרה.

אחרית דבר

לקריאה נוספת

  • דונל או'שיי, השערת פואנקרה, הוצאת אריה ניר, 2008.
  • מאשה גסן, חידת פרלמן, סיפור על גאון ועל פריצת הדרך המתמטית של המאה, הוצאת עליית הגג ומשכל, 2012

הערות שוליים

  1. ^ Poincaré Conjecture, באתר מכון קליי למתמטיקה, הסבר קצר עם איור, וקישורים למידע מפורט יותר (באנגלית)
  2. ^ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a Awarded to Dr. Grigoriy Perelman, Clay Mathematics Institute, March 18, 2010
  3. ^ גם כאן מיון זה לא היה רגורוזי מנקודת מבט מודרנית אך הפך לכזה בתחילת המאה ה-20.
  4. ^ זהו תאור מודרני של מושג ההומולוגיה של מרחב טופולוגי. אצל פואנקרה המושג היה מעט שונה
  5. ^ Newman, M. H. A. (1966). "The Engulfing Theorem for Topological Manifolds". Annals of Mathematics. (2) 84 (3): 555–571. MR 0203708. doi:10.2307/1970460. 
  6. ^ כך על פי מורו של פרלמן בתיכון סרגי רוקשין [כאן https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k&t=609s]
  7. ^ כך על פי הכתבה כאן


{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
השערת פואנקרה
Listen to this article