גבול (מתמטיקה)
מושג יסודי במתמטיקה / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
גבול הוא מושג יסודי באנליזה מתמטית, ובהתאם לכך קיימים גבולות של קבוצות, של סדרות, של פונקציות, ואף של סדרות של פונקציות.
גבול (או נקודת גבול) של קבוצת נקודות (למשל קבוצת נקודות על הישר הממשי) היא נקודה x שבקרבתה יש אינסוף נקודות אחרות השייכות ל (הגדרה מדוייקת תינתן בהמשך). ככלל, במרחבים מטריים גבול של קבוצה הוא נקודת הצטברות של הקבוצה.
גבול של תהליך אינסופי (למשל סדרה אינסופית של מספרים, או של טור אינסופי של מספרים, או של נקודות במרחב) הוא איבר בודד המייצג את ההתנהגות ארוכת הטווח של התהליך.
לדוגמה, גבול של סדרה אינסופית של מספרים ממשיים הוא בדרך כלל מספר ממשי שכל אברי הסדרה למעט מספר סופי מהם נמצאים במרחק קטן ממנו, ויהי המרחק קטן ככל שיהיה (הגדרות פורמליות תינתנה בהמשך). ייתכן גם שגבול של סדרה לא יהיה מספר סופי אלא אין סוף (שסימנו ) או מינוס אין סוף ().
כאשר לסדרה יש גבול נהוג לומר שהסדרה מתכנסת (או שואפת) לגבול זה. בדרך כלל התכנסות מוגדרת במרחבים מטריים, בהם מרחק בין נקודות הוא מספר ממשי חיובי (למשל המרחק בין נקודות במישור או במרחב הוא אורך הקטע המחבר בינהן). הגדרה רחבה יותר של התכנסות קיימת במרחבים טופולוגיים.
כך למשל, גבולה של הסדרה ההרמונית הוא אפס, וגבולה של הסדרה הוא מינוס אינסוף (). סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת, וסדרה שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת. למשל הסדרה היא סדרה מתבדרת. מההגדרה משתמע שלסדרה מתכנסת יש גבול יחיד.
יש לציין שמושג הגבול מוגדר גם עבור קבוצת (בשונה מסדרת) נקודות במרחב מטרי. גבול של קבוצת נקודות נקרא גם נקודת הצטברות. לקבוצת נקודות יכול להיות יותר מגבול יחיד.