For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for פונקציית התפלגות.

פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

  1. הגבול שווה ל-0.
  2. הגבול שווה ל-1.
  3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר לכל .
  4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות . ואכן, אם דורשים ש- , נובע שהגבול משמאל שווה להסתברות . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה , , ו- .

בפרט נובע ש-, כך שהסיכוי למאורעות הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

דוגמאות

קובייה

נניח ש- הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:

התפלגות ברנולי

דוגמה נוספת: נניח ש- הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי , ואת הערך 0 בסיכוי (למשל: אם אז ).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:

כי ההסתברות ש- יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא .

התפלגות אחידה רציפה

נניח ש- מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע לכל מספר בין 0 ל-1 היא .


קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
פונקציית התפלגות
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on