For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for ארבעון.

ארבעון

ארבעון משוכלל
ארבעון משוכלל
מודל תלת־ממדי של ארבעון משוכלל (לחצו להגדלה)
מבנה בצורת ארבעון
מבנה בצורת ארבעון

אַרְבָּעוֹן[1] (גם טטראדר או טטרהדרון; באנגלית: Tetrahedron) הוא פירמידה משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן משולשים. לארבעון 4 קודקודים, 4 פאות, ו-6 מקצועות.

אף על פי שלעיתים נתפסת התיבה כגוף הפשוט ביותר, תואר זה שייך דווקא לארבעון. הוא מכיל את מספר הקדקודים המזערי הדרוש כדי להיות גוף תלת ממדי ולא מישורי, שכן דרך כל שלוש נקודות עובר מישור.

הארבעון הוא 3-סימפלקס, מקרה פרטי של n-סימפלקס (הכללה רב-ממדית של המשולש).

נפח הארבעון נתון על ידי הנוסחה:

כאשר הוא שטח הבסיס ו-h הוא הגובה מהבסיס אל הקודקוד שמעליו.

ארבעון משוכלל

ארבעון משוכלל הוא ארבעון שכל פאותיו הן משולשים שווי צלעות.

הארבעון המשוכלל סימטרי במידה רבה ביותר: חבורת הסימטריות שלו פועלת 4-טרנזיטיבית על ארבעת הקודקודים, כלומר, אפשר להעביר, על ידי סיבוב ושיקוף, כל סדרת קודקודים לכל סדרת קודקודים אחרת. חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל איזומורפית לחבורת תמורות . השלד של הארבעון הוא הגרף השלם , וחבורת הסימטריות שלו איזומורפית ל-.

הארבעון המשוכלל הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים, הידועים גם בשם הפאונים המשוכללים. גוף אפלטוני הוא פאון שכל פאותיו הן אותו מצולע משוכלל (מצולע שווה-צלעות), ובכל אחד מקודקודיו נפגשות פאות באותו מספר.

שטח הפנים A והנפח V של ארבעון משוכלל בעל צלע a הם:

הארבעון המשוכלל הוא דואלי לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.

מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם

את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות בקריסטלוגרפיה, שם ממיינים את הסריגים למחלקות בראבה ולמערכות גבישיות, בין השאר, על-פי חבורת הסימטריות של תא היחידה של הסריג.

הסימטריות של השלד

סריג תת-החבורות של 
  
    
      
         
        
          S
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \ S_{4))
  
: עותק אחד מכל מחלקת צמידות. בשחור: תת-חבורות המופיעות כחבורות סימטריה של שלדי ארבעונים
סריג תת-החבורות של : עותק אחד מכל מחלקת צמידות. בשחור: תת-חבורות המופיעות כחבורות סימטריה של שלדי ארבעונים
פירמידות שרפינסקי מאיטרציות 0–7 שנוצרות מארבעונים ומכילות מופעים רבים שלהם (דגם תלת־ממדי, לחצו להגדלה)

הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא גרף שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: תמורה של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.

  1. חבורת הסימטריות של ארבעון משוכלל היא (אם חבורת הסימטריות מכילה את , שהיא 2-טרנזיטיבית על הקודקודים ולכן טרנזיטיבית בפעולה על המקצועות, הארבעון מוכרח להיות משוכלל).
  2. חבורת הסימטריות היא החבורה הדיהדרלית אם הארבעון הוא יתדון טטרגונלי, שבו ארבעה מקצועות שווי-אורך ועוד שניים, שאינם נפגשים, שגם שהם שווי-אורך. (הסימטריה הציקלית מסדר 4 מאלצת די שוויונות בין ארכי המקצועות כדי שהחבורה תהיה ).
  3. חבורת הסימטריות היא החבורה הסימטרית כאשר הארבעון הוא פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות. (גם כאן, סימטריה ציקלית מסדר 3 מאלצת את התכונות המקנות גם סימטריית שיקוף ועימה את החבורה ).
  4. חבורת הסימטריות היא חבורת הארבעה של קליין, , אם הארבעון הוא יתדון רומבי.
  5. חבורת הסימטריות היא , מסדר 4, וכוללת שני חילופים המחליפים זוגות זרים של קודקודים, אם לארבעון יש ארבעה מקצועות שווי-אורך שאין ביניהם שלושה החולקים קודקוד משותף.
  6. חבורת הסימטריות היא , ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים).
  7. חבורת הסימטריות היא , ציקלית מסדר 2, עם חילוף של זוג קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך הנפגשים בקודקוד משותף.
  8. בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות טריוויאלית.

סימטריות הסיבוב המרחביות

כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:

  1. חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון משוכלל היא, כאמור, .
  2. חבורת סימטריות הסיבוב של פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות היא החבורה הציקלית .
  3. חבורת סימטריות הסיבוב של יתדון (רומבי או טטרגונלי) היא .
  4. חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון בעל שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים) היא , ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים.
  5. בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות טריוויאלית.

קוביית משחק

קוביית משחק בעלת ארבע פאות
קוביית משחק בעלת ארבע פאות

הארבעון משמש כקוביית משחק במשחקי תפקידים בתור ק4. המספרים מופיעים במרכז כל צלע. מאחר שאין לארבעון צד עליון המספר שהתקבל נקבע על פי המספר המופיע במרכז הצלע התחתונה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה ערך מילוני בוויקימילון: ארבעון תמונות ומדיה בוויקישיתוף: ארבעון

הערות שוליים

  1. ^ במילוני האקדמיה ללשון העברית השונים גם: פִּירָמִידָה מְשֻׁלֶּשֶׁת, פִּירָמִידָה מְשֻׁלָּשִׁית, טֶיטְרָאֶדְרוֹן, טֶטְרָאֵדֶר
חמשת הפאונים האפלטוניים
Tetrahedron.svg
Hexahedron.svg
Octahedron.svg
Dodecahedron.svg
Icosahedron.svg
ארבעון
(טטרהדרון - 4 פאות)
קובייה
(קובייה - 6 פאות)
תמניון
(אוקטהדרון - 8 פאות)
תריסרון
(דודקהדרון - 12 פאות)
עשרימון
(איקוסהדרון - 20 פאות)


{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
ארבעון
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on