העתקה ליניארית
פונקציה מתמטית הפועלת בין מרחבים וקטוריים ומכבדת את הליניאריות שלהם / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, היא העתקה (פונקציה) ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר. באופן פורמלי יותר, העתקה ליניארית היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה). מכיוון שהעתקה ליניארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.
בערך זה |
העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בוקטורי קואורדינטות (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים).
להעתקה ליניארית ממרחב אל עצמו, כלומר , נהוג לעיתים לקרוא אופרטור ליניארי, אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.
העתקה ממרחב וקטורי מעל שדה F אל מרחב וקטורי מעל אותו שדה (מסמנים ) תקרא העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:
משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה על התוצאה של כפל הווקטור בסקלר , או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.
מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים וסקלרים מתקיים:
מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה ליניארית לעולם אינו הקבוצה הריקה ותמיד כולל את וקטור האפס :
מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית. אם היא העתקה ליניארית אז . מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם T לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.
- אם היא מטריצה מסדר , אז מגדירה העתקה ליניארית מ- ל- כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב־ על ידי כפל מטריצות מימין: . זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, מכיוון שבדרך זו ניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מממד סופי.
- טרנספורמציית האפס (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את וקטור האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ- (העתקה ליניארית באמצעות הכפלה במטריצה) כאשר היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות ניתן לייצג כ- על ידי כאשר היא מטריצת היחידה מסדר (כלומר, בגודל ).
- ההעתקה עם היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה- פי , בעוד את ציר ה- היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: ולכן . קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
- טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה- היא טרנספורמציה ליניארית.
- גזירה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).
- פונקציה היא העתקה ליניארית אם ורק אם היא מהצורה באשר . נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת קו ישר במישור האוקלידי) היא העתקה ליניארית אם ורק אם . קל לראות שאחרת לא מעבירה ל- (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש- ונראה ש- לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): פונקציה כזאת נקראת העתקה אפינית. נעיר שלהעתקות אפיניות יש חשיבות מיוחדת כשדנים בגזירת פונקציות בכמה משתנים (פונקציות דיפרנציאביליות).
- הפונקציה שמוגדרת על-ידי היא העתקה ליניארית. פונקציה זו מותחת את רכיב ה- בפקטור .
- הפונקציה היא אדטיבית ושומרת על חיבור:
- הפונקציה משמרת כפל בסקלר (פונקציה הומוגנית): אפשר למתוח את הקלט ואז להפעיל את הפונקציה או להפעיל את הפונקציה ואז למתוח את הפלט. בניסוח מתמטי:
יהיו ו- מרחבים וקטוריים מעל שדה כלשהו , ו- העתקה ליניארית מ- ל-.
- נאמר ש- היא הומומורפיזם (של מרחבים וקטוריים) אם היא העתקה ליניארית.
- נאמר ש- היא מונומורפיזם אם חח"ע (חד חד ערכית).
- נאמר ש- היא אפימורפיזם אם על.
- נאמר ש- היא איזומורפיזם אם היא הפיכה.
מרחבים הם איזומורפיים אם קיימת ביניהם העתקה ליניארית הפיכה, ומתברר כי שני מרחבים וקטוריים איזומורפיים זה לזה אם ורק אם הם שווי-ממד. הממד מונוטוני תחת העתקות ליניאריות: אינו יורד תחת העתקה חח"ע, ואינו עולה תחת העתקה על. אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים ו-, אזי שלוש התכונות לעיל (חח"ע, על, הפיכות) שקולות זו לזו. אומרים כי המרחב הווקטורי הוא הופפיאני וקו-הופפיאני[דרושה הבהרה] במובן זה שאינו איזומורפי לתמונה או לתת מרחב אמיתיים שלו.
אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ- ל- מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד . על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם הן העתקות ליניאריות מ- ל-, ו- הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:
וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.
המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי מסומן . אם אז
כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות איזומורפי למרחב המטריצות עם שורות ו- עמודות.