יחס הופכי - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for יחס הופכי.

יחס הופכי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי על קבוצה , הוא היחס המסומן ומוגדר על ידי . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס על הוא היחס .

תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי

  • סימטריה. בפרט אם סימטרי, אז .
הוכחה: .
הוכחה: .
הוכחה: .
הוכחה: מההגדרה נובע כי , ולכן .
הוכחה: ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: ולכן אם א-סימטרי אז א-סימטרי.

תכונות נוספות של היחס ההופכי

  • ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ-"אם ב אז ב" ל-"ב אם ורק אם ב".
הוכחה: לכל x,y -
  • הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: .
הוכחה: לכל x,y - ולכן .
  • ההופכי מתפלג מעל החיתוך: .
הוכחה:לכל x,y - .
  • ההופכי מתפלג מעל האיחוד: .
הוכחה: לכל x,y - .
  • ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: .
הוכחה: לכל x,y - .
  • מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

דוגמאות

  • לכל קבוצה , היחס ההופכי ליחס על הוא .
  • לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
  • היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".
  • היחס ההופכי ליחס " אם ורק אם קיים אדם x כך ששם המשפחה של x הוא y" בין שמות של אנשים ומשפחות הוא היחס " אם ורק אם קיים אדם y כך ששם המשפחה של y הוא x".

ראו גם

קישורים חיצוניים

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
יחס הופכי
Listen to this article