מכניקה אנליטית
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
מכניקה אנליטית היא אוסף ניסוחים למכניקה הקלאסית שפיתחו ז'וזף לואי לגראנז', ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקב יעקובי במאות ה-18 וה-19. בעוד שהמכניקה הניוטונית עושה שימוש בכוחות וקטוריים לצורך ניתוח הבעיה הפיזיקלית ומסתמכת במקרים רבים על עקרונות גיאומטריים, המכניקה האנליטית משתמשת בקואורדינטות ובכוחות מוכללים ומסתמכת רק על פעולות אלגבריות.
המכניקה הלגראנז'ית אשר פיתח לגראנז' עושה שימוש בקואורדינטות מוכללות ובכוחות מוכללים ומאפשרת פתרון בעיות פיזיקליות שבמכניקה הניוטונית נחשבות קשות. בפרט, היא מספקת שיטה סדורה לפתרון של בעיות תנועה תחת אילוצים: תנועה לאורך ישר נתון, תנועה שמוגבלת למישור, ועוד. הפורמליזם הלגרנז'יאני מציג את הבעיה הפיזיקלית כאוסף של משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, הנקראות משוואות אוילר-לגראנז'.
המכניקה ההמילטונית, על שם ויליאם רואן המילטון, מציגה את הבעיה הפיזיקלית כאוסף של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במרחב הפאזה. הפורמליזם ההמילטוני אינו מכיל תוכן פיזיקלי חדש. כוחו של פורמליזם זה הוא במציאת אינטואיציות פיזיקליות חדשות, והוא אף שימש כדי להכליל את הפיזיקה הקלאסית לפיזיקה הקוונטית. בנוסף, הפורמליזם ההמילטוני מהווה כר נוח לפתרון בעיות באופן מקורב באמצעות תורת ההפרעות.
משוואת המילטון-יעקובי מציגה את כל הבעיה הפיזיקלית באמצעות פונקציה אחת המקיימת משוואה דיפרנציאלית חלקית יחידה. פורמליזם זה מדגיש את הדמיון בין המכניקה לאופטיקה, ולכן הוא היווה נקודת מוצא לפיתוח של מכניקת הקוונטים.
קיימים מספר ניסוחים נוספים ושיטות ניתוח נוספות הנכללים במסגרת המכניקה האנליטית. בין אלו ניתן למנות את המכניקה הרות'נית, טרנספורמציות קנוניות, סוגרי פואסון, זוויות-פעולה ומשוואות התנועה של אפל.