מכפלה טנזורית
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, מכפלה טנזורית היא בנייה מתמטית המקבלת שני מבנים אלגבריים ובסיס משותף, ומחזירה מבנה אחר, הנוצר משניהם בסיועו של הבסיס. המכפלה הטנזורית אנלוגית למושג הכפל, בדומה לסכום הישר שהוא אנלוגי למושג החיבור. לדוגמה, המכפלה הטנזורית של שני מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה, היא מרחב וקטורי שממדו שווה למכפלת הממדים של שני המרכיבים. המכפלה של המבנים ו- מעל מסומנת ב-.
המכפלה הטנזורית נחקרת באופן מקיף במסגרת האלגברה ההומולוגית. בתחומים אחרים של המתמטיקה, היא מופיעה בדרך כלל בשתי צורות:
- "הרחבה של הסקלרים". למשל, אם מרחב וקטורי מעל הממשיים , אז הוא מרחב וקטורי בעל אותו ממד מעל המרוכבים, הגדול יותר.
- הכפלת שני מבנים מטיפוס מסוים עשויה לתת מבנה שלישי מאותו טיפוס, וכך להגדיר מבנה של מונואיד על אוסף המבנים מאותו טיפוס. כך למשל, המכפלה הטנזורית של שתי חבורות אבליות (מעל השלמים) היא חבורה אבלית. דוגמה בולטת לתהליך זה אפשר לראות בהגדרת חבורת בראואר.
התכונה החשובה ביותר של המכפלה הטנזורית היא ה"אוניברסליות", שמשמעותה כזו: המכפלה הטנזורית של שני מודולים היא המודול הגדול ביותר שאותו אפשר לכסות בהעתקה מאוזנת על ידי המכפלה הישרה של שני המודולים. תכונה זו ניתנת לניסוח באופן קטגורי, וכך אפשר בדרך כלל לחסוך את העיסוק בפרטים הטכניים של הבניה המפורשת.
למכפלה טנזורית של מטריצות קשר הדוק עם המכפלה הטנזורית של מרחבים וקטוריים בגודל המתאים.