מערכת אורתונורמלית שלמה
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב מכפלה פנימית (ובפרט במרחב הילברט) היא קבוצה של וקטורים שקבוצת האיברים הנפרשים על ידה היא צפופה במרחב, ושאיבריה הם אורתוגונליים זה לזה, כלומר מכפלתם הפנימית היא 0, והם מנורמלים, כלומר כל אחד הוא בעל נורמה 1 (וקטורים כאלה נקראים "וקטורי יחידה").
נוח להשתמש במערכות אורתונורמליות שלמות מכיוון שהן מאפשרות תיאור של כל איבר במרחב בתור צירוף ליניארי (לא בהכרח סופי) של איברים מתוך המערכת האורתונורמלית, שאיבריה הם פשוטים יחסית. דוגמה לשימוש זה היא פיתוח לטור פורייה, שמהווה תיאור של פונקציה במרחב מסוים של פונקציות באמצעות מערכת אורתונורמלית במרחב.
לעיתים גם קוראים למערכת אורתונורמלית שלמה בסיס אורתונורמלי. במרחבים וקטוריים מממד סופי, מערכת אורתונורמלית שלמה מהווה בסיס למרחב, שאבריו הם וקטורים אורתנורמלים. ברם, במרחבים שאינם מממד סופי, מערכת אורתונורמלית שלמה אינה בסיס במובן הרגיל של בסיס באלגברה ליניארית. זאת מכיוון שלא ניתן להציג כל איבר במרחב בתור צירוף ליניארי סופי של איברים מתוך המערכת האורתונורמלית, אלא רק להתקרב אליו כרצוננו (זהו פירושה של צפיפות קבוצת האיברים הנפרשים על ידי המערכת האורתונורמלית). נהוג לכנות בסיסים במובן הרגיל של האלגברה הליניארית בשם בסיס המל, אך הם שימושיים הרבה פחות מאשר מערכות אורתונורמליות שלמות במרחבים מממד אינסופי.