For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for מידה (מתמטיקה).

מידה (מתמטיקה)

במתמטיקה, מידה היא פונקציה המתאימה מספר אי-שלילי (או אינסוף) לאוסף מסוים של תת-קבוצות של קבוצה נתונה, ומקיימת תכונות שימושיות מסוימות. מושג המידה מכליל את המושגים הטבעיים של אורך, נפח והסתברות, ולכן יש לו תפקיד מרכזי באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות.

תורת המידה היא ענף של אנליזה ממשית שחוקר סיגמא-אלגברות, פונקציות מידה, פונקציות מדידות ואינטגרלים.

הגדרה פורמלית

יהי מרחב מדיד (כלומר ו- סיגמא-אלגברה). פונקציה נקראת מידה אם יש קבוצות שמידתן סופית, והיא סיגמא-אדיטיבית:
יהיו מספר בן מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: .
אזי מתקיים שמידת האיחוד היא סכום המידות, כלומר:
.

פונקציה בעלת שתי תכונות אלה נקראת מידה מרוכבת. לעיתים, על מנת להדגיש שטווחה של מידה מסוימת הוא אומרים שהיא מידה חיובית (על אף שהיא יכולה להחזיר את 0 כערך).

שלשה שרכיביה מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה על המרחב ופונקציית מידה על האלגברה, נקראת מרחב מידה. במקרה כזה, קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה מכונה קבוצה מדידה (ביחס לאותה אלגברה).

פונקציה בין שני מרחבי מידה נקראת מדידה, אם התמונה ההפוכה של כל קבוצה מדידה היא קבוצה מדידה.

קיימות הכללות של פונקציית מידה גם לפונקציות המקבלות ערכים שליליים ואף לפונקציות המקבלות ערכים מרוכבים.

Postscript-viewer-blue.svg ערכים מורחבים – מידה מסומנת, מידה מרוכבת

תכונות של מידה

מתכונת ההגדרה של הסיגמא האדטיבית לעיל נובעות התכונות השימושיות הבאות של מידה חיובית:

  • מונוטוניות ביחס להכלה:
    אם אזי .
  • סיגמא תת-אדיטיביות (או חצי אדיטיביות):
יהיו מספר בן מנייה של קבוצות (לא בהכרח זרות), אזי
  • רציפות מלמטה:
תהי סדרת קבוצות , אזי מתקיים:
  • רציפות מלמעלה:
תהי סדרת קבוצות ונניח ש- עבור טבעי אחד לפחות, אזי מתקיים:

תכונות נוספות של מידה

יהי מרחב מידה.

מידה סיגמא-סופית

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – מידה סיגמא-סופית

מידה נקראת סופית אם (מידת מרחב המדגם עצמו סופית).

מידה נקראת סיגמא-סופית אם ניתן להציג את X כאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה סופית.

לדוגמה: מידת לבג על הישר הממשי היא סיגמא-סופית כי ומידת כל קטע סגור היא .

מידה רגולרית

מידה המוגדרת מעל מרחב טופולוגי נקראת רגולרית אם מתקיים

לדוגמה: מידת לבג היא מידה רגולרית, הדבר נובע מאופן בנייתה באמצעות מידה חיצונית.

מידה שלמה

מידה חיובית היא שלמה אם לכל קבוצה בעלת מידה אפס , כלומר המקיימת , תת-הקבוצות שלה כולן מדידות (ומידתן, בהכרח, אפס).

לכל מידה קיימת השלמה/הרחבה סטנדרטית המגדירה אותה על הסיגמא-אלגברה המקסימלית של הקבוצות המדידות, שבה המידה המורחבת היא מידה שלמה. כדי להשלים מידה כזאת, מוסיפים לסיגמא-אלגברה המקורית את כל הסיגמא-אלגברה של כל הקבוצות הנבדלות מקבוצות בסיגמא-אלגברה המקורי בקבוצה בעלת מידה אפס (כלומר: כאשר הוא הפרש סימטרי של קבוצות.

לדוגמה: מידת לבג היא ההשלמה הסטנדרטית של מידת האורך על הישר הממשי.

מידה לא-אטומית

היחידון הוא אטום של המידה אם . באופן כללי יותר, כל קבוצה בעלת מידה חיובית, שאין לה תת-קבוצות ממידה חיובית וקטנה משלה, נקראת אטום. לדוגמה: מידת דיראק היא מידת הסתברות בעלת האטום .

מידה שאין לה אטומים נקראת מידה לא-אטומית. לדוגמה, מידת לבג היא מידה לא-אטומית. למידת האר של חבורה קומפקטית אינסופית אין אטומים. במידה לא אטומית, מידתה של כל קבוצה בת מניה היא 0.

ראו גם

מידות שימושיות:

מושגים באנליזה ממשית:

ידע נדרש:

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא מידה בוויקישיתוף
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
מידה (מתמטיקה)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Wikiwand 2.0 is here 🎉! We've made some exciting updates - No worries, you can always revert later on