משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)
משוואות במכניקת הזורמים / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במכניקת זורמים, משוואות אוילר הן שלוש משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות התנהגות פיזיקלית של זורמים במרחב, שפותחו על ידי המתמטיקאי לאונרד אוילר וקרויות על שמו. המשוואות מורכבות ממשוואת הרצף (המתארת שימור מסה), משוואת התנועה (המתארת שימור תנע), ומשוואת שימור האנרגיה (המתארת שימור אנרגיה).
בערך זה |
חשיבותן של המשוואות גולשת מעבר לתחום מכניקת הנוזלים. בין היתר, יש למשוואות שימושים רבים בתחום האווירודינמיקה - באמצעתן ניתן לבחון מודלים ממוזערים של כלי תחבורה לצורך הבנת התנהגותם בגודל אמיתי. המשוואות אף היוו פריצת דרך מתמטית בשימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי לתיאור תופעות פיזיקליות. קרוב ל־100 שנים אחרי פיתוחן, משוואות אוילר היוו הבסיס לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שהן הכלי המרכזי כיום להבנה של מכניקת זורמים.
המשוואות בממד אחד ומשמעותן הפיזיקלית
- משוואת הרצף (שימור מסה):
- משוואת התנועה (שימור תנע):
- משוואת שימור האנרגיה:
כאשר:
- היא צפיפות הנוזל
- היא מהירות הנוזל
- הוא הלחץ בנוזל
- הוא סך כל האנרגיה ליחידת נפח, כלומר , כאשר היא האנרגיה הפנימית של הנוזל.
חוק השימור שכל אחת מהמשוואות מייצגת ניתן להסבר אינטואיטיבי:
משוואת הרצף
משוואה זו מתארת שימור מסה. במילים, המשמעות של המשוואה הוא כדלקמן: "השינוי במסה של הזורם באזור מסוים הוא תוצאה של זרימת מסה פנימה והחוצה מאזור זה בלבד".
נראה שקילות בין המשוואה למשמעות המילולית שניתנה לעיל. נתבונן בתא סטטי בזורם בעל נפח . הביטוי משמעו קצב השינוי של הצפיפות בנפח . הביטוי מבטא את הקצב שבו מסה נכנסת או יוצאת מאזור זה, כאשר הביטוי מייצג את זרם המסה. המשמעות הפיזיקלית של זרם המסה דומה למשמעות של זרם חשמלי, אך עם תנועה של מסה במקום תנועת מטענים חשמליים. מכאן שהמשמעות של המשוואה היא שעל מנת למצוא את השינוי של המסה בנפח , הוא , יש להתבונן בהפרש בין זרם המסה הנכנס לתא לזרם המסה היוצא ממנו. משמעות עובדה זו היא שימור מסה, שכן היא קובעת שלא מופיע נוזל יש מאין.
משוואת התנועה
משוואה זו מתארת שימור תנע, והיא מהווה הרחבה של החוק השני של ניוטון ממוצקים לזורמים.
החוק השני של ניוטון קובע כי , והוא אכן מבטא שימור תנע. לעיתים קרובות קשה להגדיר נפח במכניקת זורמים, ועל כן לרוב עובדים עם גדלים שהם "ליחידת נפח". כך למשל נהוג לעבוד עם צפיפות במקום עם מסה. מסיבה זו, נבטא את החוק השני של ניוטון בצורה: , כאשר הוא כוח ליחידת נפח. כעת, את התאוצה בחוק ניוטון אפשר להחליף בהגדרתה - שינוי המהירות כתלות בזמן, . בנוסף, מכיוון שלחץ הוא כוח ליחידת שטח, אפשר לכתוב . מכאן מקבלים , ועל ידי סידור המשוואה מתקבלת המשוואה . משוואה זו דומה למשוואת שימור התנע שהוצגה, אך יש להסביר את האיבר האחרון שנותר - . איבר זה הוא איבר ה"הסעה", וקשור לעובדה שבחלקים שונים בנוזל ייתכנו מהירויות שונות, מה שיגרום לתאוצה. דוגמה לכך היא תנועה של נוזל דרך צינור שהולך וצר. במקרה זה, ככל שהצינור נהיה צר יותר, כך מהירות הנוזל היא גדולה יותר, ואנו מקבלים תאוצה. תופעה זו מכונה האצת הסעה (Convective acceleration).
משוואת שימור האנרגיה
משוואה זו מתארת שימור אנרגיה. בדומה למשוואת הרצף, משמעות המשוואה היא שהשינוי באנרגיה ליחידת נפח באזור בנוזל, הוא , הוא תוצאה של זרימת אנרגיה לתוך נפח זה, המתואר על ידי זרם האנרגיה - . למעשה, ניתן להבין משוואה זו כמעין משוואת רצף עבור אנרגיה. נדגיש כאן שמכיוון שמשוואות אוילר מתארות זורמים, בחישוב האנרגיה עלינו להתחשב באנרגיה הפנימית של הנוזל, ולא באנרגיה הקינטית שלו בלבד.
המשוואות במימד אחד בזרימה רדיאלית
המשוואות בקואורדינטות כדוריות נוחות יותר לשימוש כאשר הזרימה היא רדיאלית, לדוגמה כאשר עוסקים בבעיות קריסה של בועה או כוכב.
המשוואות בתלת־ממד
שורשן של משוואות אוילר נובע מחוקי ניוטון שנוסחו בשנת 1687[1]. בעוד חוקי ניוטון מתארים נכונה את החוקים הפיזיקליים הכלליים הפועלים על זורמים, יישום שלהם על נוזל מסוים מוביל לקשיים - שכן לא ניתן לראות נוזל רק כסך המולקולות המרכיבות אותו. זאת מכיוון שבפתרון המשוואות עבור נוזלים, רצוי להתייחס למושגים מאקרוסקופיים המתארים אותם כלחץ ונפח, שלרוב לא ניתן להגדיר היטב על מולקולות בודדות. רק כאשר מתייחסים לנוזל כאל רצף, ומשיימים את עקרונות החשבון האינפיניטסימלי עליו בכך שמחלקים אותו לגדלים קטנים ומבצעים חישוב על כל אחד בנפרד, ניתן ליישם כהלכה את חוקי ניוטון. ההבנה הזו הייתה תהליך ממושך, שהתחיל עם הניסיון הראשון של דניאל ברנולי ב־1738 ליישם עקרונות דינמיים כלליים על נוזל בתנועה, והגיעה לשיאה 17 שנה לאחר מכן עם פרסום משוואות אוילר על ידי לאונרד אוילר. המחקר שנעשה בשנים אלו לגילוי החוקים הפועלים על זורמים הוביל בין היתר לפיתוח של כלים מתמטיים חדשים, כמו כתיבה של משוואות וקטוריות, המושג של שדה מהירות וטכניקות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות[2].
ב־1738 כתב דניאל ברנולי בספר Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii (הידרודינמיקה, דיסרטציה על כוחות זורמים ותנועתם) את הניסיון הראשון ליישום של עקרון כללי לתנועת זורמים. ברנולי יישם את עקרון שימור האנרגיה של הויגנס על זורמים והשיג תיאור גאומטרי של חוקים הכוללים אף גרסה חד־ממדית של משוואות אוילר.
ב־1742 פרסם יוהאן ברנולי, אביו של דניאל ברנולי, את ספרו Hydraulice, והשתמש הפעם בחוקי ניוטון ובמיוחד בחוק השני שלו, במקום בעקרונות של הויגנס. התוצאה הייתה פיתוח של משוואת ברנולי שהשיג בנו, עם כתיב יותר אלגברי ופחות גאומטרי.
ב-1746 זכה המתמטיקאי ז'אן לה רון ד'אלמבר בפרס מטעם האקדמיה הפרוסית למדעים בברלין על מאמרו The Cause of winds. במקרה פרטי במאמר, ניתנות לראשונה משוואות של תנועת זורמים אי דחיסים במקרה הדו־ממדי, שהיא מקרה פרטי של משוואות אוילר. שנתיים לאחר מכן, פרסם ד'אלמבר מאמר בשם The resistance of fluid לתחרות נוספת באקדמיה הפרוסית אך לא זכה בפרס. למרות זאת, חשיבותו של המאמר אינה מוטלת בספק - הוא מכיל לראשונה את מה שכונה "משוואת הערבוליות לזורמים אי־דחיסים", תחת ההנחה שתמיד מתקיים: . הנחה זו פירושה שהערבוליות אפסית, הנחה מוטעית שאוילר עצמו ישתמש בה במאמרו שלוש שנים מאוחר יותר.
לאחר שחקר את כתביו של דאלמבר בנושא, טען אוילר במאמר בשנת 1750 שהבסיס האמיתי לכל מכניקת הרצף הוא החוק השני של ניוטון המיושם על חלקים בגודל אינפיניטסימלי של הגוף בתנועה. במאמר נוסף משנת 1750–1751 יישם אוילר את הטענה הזו על תנועת נהר, תוך התייחסות אליו כאל בעיית תנועה דו־ממדית. הוא פיתח גרסה של משוואת ברנולי של יוהאן ברנולי, עם נגזרות חלקיות:
אך ניכר שאוילר לא היה מרוצה ממונוגרפיה זו[3]
ב־1752 כתב אוילר את המאמר Principia motus fluidorum (עברית: עקרונות התנועה של נוזלים) שהציג גרסה מוקדמת של המשוואות לזרימה אי דחיסה. ב־31 באוגוסט 1752 המאמר הוגש לאקדמיה הפרוסית למדעים בברלין[4]. המאמר כלל את הטעות שנעשתה גם על ידי המתמטיקאי ד'אלמבר בבואו למצוא חוקים לזורמים, והיא ההנחה שהערבוליות אפסית. במאמר זה פיתח אוילר לא רק גרסה דו־ממדית של המשוואות, אלא גם לראשונה גרסה תלת־ממדית. אוילר הבין אחרי זמן מה את הטעות שעשה בכך שהתעלם מפתרונות ערבוליים. בשנת 1755 כתב אוילר שלושה מונוגרפים על זורמים.
המונוגרפיה הראשונה, Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides (עברית: עקרונות כלליים בנוגע לשיווי משקל בזורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־11 באוקטובר 1753[5] והוקדשה לשיווי־משקל של זורמים, אי־דחיסים ודחיסים. במונוגרפיה זו ניסה אוילר לבסס את מדע ההידרוסטטיקה על עקרון מנחה יסודי, והוא שכל אלמנט אינפיניטסימלי בנוזל אשר נמצא בשיווי משקל יקיים את המשוואה , כאשר P הוא הלחץ בשפת האלמנט ו־f היא צפיפות הכוח הפעולת עליו. אוילר הראה כי התוצאות הידועות של הידרוסטטיקה נובעות מחוק מתמטי פשוט זה. ואכן, בתחילת המונוגרפיה נכתב:
אני מציע לפתח עקרון שעליו תבוסס כל ההידרוסטטיקה, או כל מדע של שיווי־משקל בזורם[6]
המונוגרפיה השנייה, Principes generaux du mouvement des fluides (עברית: עקרונות כללים בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־4 בספטמבר 1755[7], והוקדשה ליישום העקרונות מהמונוגרפיה הקודמת לטובת הבנת תנועה של זורמים. בתחילת המונוגרפיה נכתב שהבנת תנועה של זורם תלויה בתנאי התחלה של הזורם, שמכונים "המצב הפרימיטיבי של הזורם", אחד האזכורים הראשונים לכך בספרות המתמטית. ממצב זה יש להבין את הכוחות הפועלים על הזורם וכך ניתן להסיק את מצבו הנוכחי. לאורך המונוגרפיה משתמש אוילר בעיקר בצורה התלת־ממדית של המשוואות, ומפתח אותן גם לצורות כלליות כגון עבור זורמים דחיסים:
כך שההנחה ש־ אינה הכרחית.
המונוגרפיה השלישית, Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides (עברית: המשך המחקר בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־2 באוקטובר 1755[8]. המונוגרפיה היא המשך ישיר של השתיים הקודמות ופיתוח התוצאות בהן, ובתחילתה כתב אוילר על חשיבות תגליותיו:
בשתי המונוגרפיות הקודמות שלי צמצמתי את כל תורת הזורמים ... לשתי משוואות אנליטיות. חשיבות משוואות אלו נובעת לא רק שמכך שהן כוללות את כל מה שהתגלה בתחום ... אלא גם את כל מה שניתן לגלות בו[9]
בהמשך המונוגרפיה מראה אוילר בין היתר תנאים לקיום פתרון למשוואות וגם את תקפותו של חוק ברנולי לאורך קווי זרם בזרימה יציבה של נוזל לא דחיס, ובכך קיבל פיתוח למשוואת ברנולי. בנוסף, יש עיסוק בזרימה בתוך צינורות דקים.
שלושת המונוגרפיות פורסמו על ידי האקדמיה הפרוסית בברלין בשנת 1757 באוגדן Mémoires de l'académie des sciences de Berlin 11. כתבים אלו היוו פריצת דרך בהבנת מכניקת זורמים. בסוף המונוגרפיה השנייה שלו משנת 1755 תיאר אוילר את שנותר לגלות בתחום מכניקת הזורמים לאחר פיתוח משוואותיו:
אנו יכולים לראות... כמה רחוקים אנו מהבנה מלאה של תנועת זורמים, ושמה שכתבתי כאן אינו אלא התחלה צנועה. ובכל זאת, כל התיאוריה של תנועת זורמים נמצאת בשתי המשוואות הכתובות מעלה, כך שאין אלו עקרונות מכניים שאנו חסרים אותם במרדף אחר ההבנה, אלא רק האנליזה, שטרם פותחה מספיק למטרה זו. על כן רואים אנו אילו תגליות עלינו לעשות במדע זה לפני שנוכל להגיע לתיאוריה שלמה של תנועת זורמים.
לא כל הקהילה המדעית העריכה את אוילר כראוי על גילוי המשוואות הנושאות את שמו. בספר Méchanique analitique של ז'וזף לואי לגראנז' משנת 1788 מצוין דווקא ד'אלמבר כמייסד תחום מכניקת הזורמים, בעוד שמו של אוילר לא מצוין לכל אורך הספר. במהדורה השנייה של הספר שיצאה יותר מ־20 שנה לאחר מכן מופיע המשפט:
אוילר הוא זה לו אנו חייבים את קיומן של המשוואות הכלליות הראשונות המתארות תנועה של זורם ... והציג זאת בצורה פשוטה ומאירת עיניים באמצעות נגזרות חלקיות.
נדרשה כמעט מאה שנה שתחלוף בטרם נעשתה התקדמות משמעותית במכניקת זורמים כשם שנעשתה בשנות הארבעים והחמישים על ידי אוילר, ד'אלמבר וברנולי. בסוף שנות השלושים של המאה ה-19 נחקרו השפעותיו של החיכוך על הזרימה על ידי ז'אן לואי מארי פואזיי וגוטהילף היינריך לודוויג האגן. ב-1827 חקר קלוד לואי מרי אנרי נאוויה את השפעות הצמיגות על זרימה, וב-1845 עשה כן ג'ורג' סטוקס. הידע שהושג במחקר הוביל לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שמהוות הרחבה של משוואות אוילר. הבנת הפתרונות של משוואה זו על זרימת נוזלים מהווה אחת משבע בעיות המילניום של מכון קליי.