משוואת אוילר-לגראנז'
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בחשבון וריאציות, משוואת אוילר לגראנז' היא משוואה דיפרנציאלית שפתרונותיה הם פונקציות שעבורן הפונקציונל סטציונרי (בנקודת אקסטרמום). המשוואה פותחה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר ועל ידי המתמטיקאי האיטלקי-צרפתי ז'וזף לואי לגראנז' בשנות ה-50 של המאה ה-18.
מכיוון שפונקציונל גזיר סטציונרי בנקודות הקיצון המקומיות שלו, משוואת אוילר לגראנז' שימושית במיוחד בפתרון בעיות אופטימיזציה, שהן בעיות שמחפשות את הפונקציות עבורן פונקציונל נתון מקבל את ערכו המזערי או המרבי. הדבר דומה למשפט פרמה בחשבון דיפרנציאלי, לפיו פונקציה גזירה מקבלת ערכים מרביים או מזעריים בנקודת בהן הנגזרת שלה מתאפסת.
במכניקה אנליטית (במכניקה לגראנז'ית ליתר דיוק), עקרון המילטון גורס כי מערכת פיזיקלית תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית. לכן, תנועתה של מערכת פיזיקלית מתוארת על ידי משוואת אוילר לגראנז' עבור הפעולה שלה. עיקרון זה ידוע בשם "עקרון הפעולה המינימלית". במכניקה קלאסית, משוואת אוילר-לגראנז' שקולה לחוקי התנועה של ניוטון, אולם יש לה את היתרון של השימוש בקואורדינטות מוכללות, ולכן קל יותר לערוך בעזרתה הכללות.