משפט בולצאנו-ויירשטראס
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באנליזה מתמטית, משפט בולצאנו־ויירשטראס קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב- קיימת תת-סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב- קיימת נקודת הצטברות.
המשפט הוכח לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817 כטענת עזר בדרך להוכחת משפט ערך הביניים. חשיבות המשפט לא הוכרה אז והוא נשכח, עד שכחמישים שנה מאוחר יותר קרל ויירשטראס הוכיח אותו שוב באופן בלתי תלוי.
הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.
המשפט שקול ללמה של קנטור ולמשפט היינה-בורל, כלומר: כל אחד ממשפטים אלו ניתן להוכחה באמצעותו, וניתן להוכיח אותו מכל אחד ממשפטים אלו.
במרחבים מטריים כלליים המשפט אינו נכון עוד, אך הקשר בינו ובין הכללת משפט היינה בורל נשמר. מרחב שמקיים את התכונה שעליה מצביע משפט היינה בורל נקרא מרחב קומפקטי, ואילו מרחב שמקיים את התכונה של משפט בולצאנו ויירשטראס (כלומר, לכל סדרה של נקודות בו יש תת-סדרה מתכנסת) נקרא מרחב קומפקטי סדרתית - ובמרחבים מטריים, שני המושגים הללו שקולים. במעבר למרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו אינה נשמרת.