נגזרת (אלגברה)
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באלגברה, נגזרת פורמלית (או סתם נגזרת) היא פונקציה אדיטיבית מחוג אל עצמו, המקיימת את חוק לייבניץ לנגזרת של המכפלה, . הנגזרת הרגילה, כמו גם נגזרות כיווניות, מהוות נגזרת פורמלית.
אם הגזירה היא מעל שדה, נהוג לדרוש בנוסף שתהווה העתקה ליניארית, דהיינו, בנוסף לדרישת האדיטיביות נדרשת גם ההומוגניות.
אם נגזרות של חוג R, אז גם סוגרי לי שלהן היא נגזרת. עובדה זו הופכת את אלגברת הנגזרות (שאבריה הם הנגזרות של R) לאלגברת לי, ומקשרת את תורת המבנה של חוגים כלליים (לרבות לא אסוציאטיביים) לתורת המבנה של אלגברות לי.
דוגמה לנגזרת פורמלית היא הפונקציה הגוזרת פולינומים לפי הכללים הרגילים של חשבון דיפרנציאלי, כלומר: . זוהי נגזרת פורמלית על חוג הפולינומים באשר K הוא שדה. הנגזרת הפורמלית של הפולינומים שימושית בתורת גלואה: פולינום אי-פריק הוא פולינום ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה מתאפסת.