נוסחת ברטשניידר - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for נוסחת ברטשניידר.

נוסחת ברטשניידר

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות. הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה, שמתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה

סרטוט להוכחה.
סרטוט להוכחה.

נסמן באות K את שטח המרובע, אז:

מכאן

על פי משפט הקוסינוסים:

אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:

עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:

ונקבל כי

נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.

קישורים חיצוניים

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
נוסחת ברטשניידר
Listen to this article