סדרת קושי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באנליזה מתמטית, סדרת קוֹשי, הקרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים ככל שמתקדמים בסדרה. באופן מדויק יותר לכל מרחק חיובי , קטן ככל שיהיה, יש איבר בסדרה שממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ-.
בערך זה |
לא מספיק לדרוש שההפרש בין כל שני איברים עוקבים הולך וקטן, לדוגמה בסדרה:
ההפרש בין כל שני איברים עוקבים נעשה קטן יותר ככל שמתקדמים בסדרה:
אך עם זאת, ככל שערכי n גדלים, כך גם ערכי גדלים באופן שרירותי. ולכן, לכל אינדקס n ומרחק d, קיים אינדקס m גדול מספיק שעבורו (מתקיים עבור: ). ולכן, לא משנה כמה נתקדם בסדרה, איברי הסדרה לעולם לא יתקרבו זה אל זה, ולכן סדרה זו אינה סדרת קושי.
השימושיות של סדרות קושי נובעת מכך שבמרחבים מטריים שלמים (מרחבים בהם כל סדרות קושי מתכנסות לגבול) הקריטריון להתכנסות סדרה תלוי אך ורק באיברי הסדרה, בניגוד להגדרת ההתכנסות שתלויה גם באיברי הסדרה וגם בגבול עצמו. תכונה זו מנוצלת באלגוריתמים, בהם ניתן להראות כי תהליך איטרטיבי מייצר סדרת קושי.